Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Компьютерных Систем и Программных Технологий

Курсовой проект по теории автоматического управления

Д.А. Киселёв В.С. Королёв

Выполнил студент гр.4081/10

Преподаватель

Санкт-Петербург

2012

Задание:

• Для линейной системы:

  • Построить ЛАХ разомкнутой системы и определить по ней свойства замкнутой системы;

  • Построить область устойчивости замкнутой системы.

• Для нелинейной системы:

  • Рассчитать и построить зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы.

Исходные данные:

Схема линейной системы:

D = 2; K₂ = 20; T₁ = 0,5 с; T₂ = 0,1 с; T_d = T₃ = 2 с; T_i = T₄ = 1 с

Статическая характеристика нелинейного звена:

b=1; c = 2

1. Лах разомкнутой линейной системы

Передаточная функция разомкнутой системы:

Построим ЛАФЧХ с помощью Matlab:

K=20; D=2; T1=0.5; T2=0.1; T3=2; T4=1;

sys1 = tf( [ K*D*T3, K*D ], [ T1*T2*T4, T1*T2+T2*T4+T1*T4, T1+T2+T4, 1, 0 ] );

w = 0.001:0.01:1000;

bode(sys1, w);

ЛАФЧХ разомкнутой системы:

По критерию устойчивости Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов АФЧХ разомкнутой системы через критический отрезок (все точки на оси абсцисс АФЧХ левее точки ( -1, j0)) была равна , где – число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы. При этом переход сверху вниз считается положительным (+1), а снизу вверх – отрицательным (-1).

На плоскости АФЧХ разомкнутой системы критический отрезок представляет собой отрезок вещественной оси, на котором фаза , а модуль .

При анализе устойчивости замкнутой системы по ЛАФЧХ разомкнутой системы на устойчивость влияют только переходы ЛФЧХ через значение при , то есть при . Таким образом, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов ЛФЧХ разомкнутой системы через значение при была равна . При этом переход ЛФЧХ сверху вниз считается отрицательным, а снизу вверх – положительным.

В данном случае характеристический полином разомкнутой системы не имеет правых корней ( ), а значит для устойчивости замкнутой системы должны отсутствовать переходы ЛФЧХ разомкнутой системы через значение при , то есть при . Как видно из построенной ЛАФЧХ, это условие при заданных параметрах системы не выполняется, так как есть один отрицательный переход на частоте , то есть замкнутая система неустойчива.

2. Область устойчивости

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Построим границы области устойчивости в плоскости параметров T_i и K₂, используя все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа (апериодической) это будет равенство , оно достигается при . Для границы устойчивости третьего типа – равенство , которое достигается при . Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной) построим D-разбиение плоскости параметров T_i и K₂:

D-разбиение плоскости параметров T_i и K₂:

Для выделения границ области устойчивости вводится штриховка, производимая по следующему правилу. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения частоты, надо штриховать её с левой стороны, если будет положительным определитель:

Если определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. В итоге штриховка будет направлена внутрь области устойчивости.

На частоте 0.5 радиан/сек T_i = -3.7455, K₂ = -0.3873, определитель равен -0.3438, поэтому штрихуем кривую справа. На частоте 5 радиан/сек T_i = 1.0818, K₂ = 4.1193, определитель равен 275, поэтому штрихуем кривую слева.

Кроме того, для устойчивости системы все коэффициенты её характеристического уравнения должны быть одного знака. Это необходимое, но не достаточное условие. Из него можно сделать вывод о том, что при любых T_i > 0 и K₂ < 0 система неустойчива, так как коэффициенты характеристического уравнения имеют разный знак. Так же система неустойчива при любых T_i < 0 и K₂ > 0.