- •14 ОбДифУр Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Дифференциальные уравнения их классификация
- •2. Уравнения первого порядка
- •3. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •4. Однородные уравнения первого порядка
- •5. Линейные уравнения
- •6. Уравнение Бернулли
- •7. Уравнения в полных дифференциалах
- •8. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
- •10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида
где - постоянные (), называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, или уравнением без правой части:
.
Последнее уравнение можно привести к виду
Уравнение
называется его характеристическим уравнением.
В зависимости от корней и характеристического уравнения получаем общее решение уравнения в виде:
1.
если корни действительны и различны;
2.
если корни действительны и равны;
3.
если - комплексные числа.
Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение ; найти его частное решение, удовлетворяющее условиям: .
Характеристическое уравнение будет иметь вид:
,
его корни равны
Общее решение будет иметь вид:
.
Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные. Для этого вначале найдем . В результате будем иметь систему:
Решив систему, найдем: . Отсюда
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Если , то уравнение будет иметь вид:
и называться линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть приведено к виду
Общее решение этого уравнения определяется формулой
где - общее решение соответствующего однородного уравнения
,
а - частное решение исходного уравнения .
В простейших случаях, когда функция является показательной, или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов.
1. Если
где - постоянные, то частное решение ищут в виде
,
когда не является корнем характеристического уравнения или в виде
,
когда - простой корень характеристического уравнения, или
,
когда - кратный корень указанного уравнения.
2. Если
где - постоянные, то частное решение ищут в виде
,
когда , и в виде
,
когда .
3. Если
,
где - многочлен степени , то частное решение дифференциального уравнения ищут в виде
в случае, когда , и в виде
,
когда , .
Пусть дано неоднородное уравнение
правая часть которого есть сумма двух функций и .
Если является частным решением , а - частным решением , то - частное решение .
Пример. Проинтегрировать уравнение .
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение имеет корни
Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.
Так как в данном случае (т.е. имеет вид где , ) и не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
.
Найдя производные этой функции
и ,
и подставляя выражения для , в исходное уравнение, получаем
.
Так как - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех , т.е. является тождеством:
откуда . Следовательно, частное решение имеет вид
.
Соответственно, общее решение
.
FVB