3. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида
где
- функции только
,
- функции только
.
Предположив,
что
и
и разделив уравнение на это произведение
получим уравнение:
которое называют уравнением с разделенными переменными. Оно имеет общий интеграл
Корни
уравнений
,
являются решениями исходного
дифференциального уравнения.
Первое
слагаемое есть функция только от
,
второе слагаемое - только от
,
поэтому можно записать
, 
Или
.
Пример.
Решить дифференциальное
.
Приведем это уравнение к виду, с разделенными переменными
,
Отсюда
.
Проинтегрируем,
получим
.
Отсюда
.
Задача о распаде радиоактивного вещества.
Скорость распада радиоактивного вещества пропорционально массе вещества. Найти закон распада и период полураспада.
Имеем
.
В начальный момент
-
.
Преобразуем уравнение к виду
.
Проинтегрируем:
.
Преобразуем
.
Используя начальные условия, получим
. Отсюда
.
Найдем теперь выражение
для
– периода полураспада, т.е. времени, в
течение которого распадется половина
всех ядер исходного вещества. По условию
.
Подставим в решение
,
отсюда
,
,
,
,
,
,
.
4. Однородные уравнения первого порядка
Функция
называется однородной степени
,
если для любых
выполняется тождество
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется
однородным, если
и
- однородные функции одной и той же
степени.
С
помощью новой переменной
,
вводимой по формуле
однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример.
Проинтегрировать уравнение
.
Введем новую переменную
по правилу
,
получим
Подставим в исходное уравнение:
Преобразуем
Перепишем получившееся уравнение в виде:
Проинтегрируем левую и правую части:
Вернемся к "старым" переменным:
5. Линейные уравнения
Уравнение вида
или
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций
Следовательно,
Подстановка
выражений для
и
в исходное уравнение приводит его к
виду
Отсюда
Это уравнение приводят к более простому виду, полагая выражение в круглых скобках равным нулю:
Тем
самым мы получаем уравнение для
определения
.
Тогда
функция
определяется уравнением
.
Пример.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Данное уравнение является
линейным. Решение ищем в виде
.
Найдем производную от этого выражения:
.
Значения
и
подставим в исходное уравнение:
Перегруппируем его
В качестве
выбираем одну из функций, обращающих в
нуль коэффициент при
- круглую скобку:
Разделив переменные, получим
Откуда
Или, после операции потенцирования:
.
Не теряя общности, положим
.
Отсюда получаем выражение для
.
Для определения
остается уравнение
Подставив сюда найденное
значение
,
получим:
,
или
из которого определяем
.
Соответственно, общее решение будет
иметь вид:
Также можно воспользоваться
методом вариации произвольной постоянной,
который состоит в следующем. Сначала
находят общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Далее величину
,
входящую в это уравнение, полагают
функцией
и находят ее.