16 НеоИнт Неопределённый интеграл.
Оглавление.
1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных неопределенных интегралов.
4. Метод интегрирования подстановкой.
5. Интегралы группы четырёх.
6. Интегрирование по частям.
7. Интегрирование рациональных дробей.
8. Интегрирование тригонометрических выражений.
9. Интегрирование иррациональных выражений.
1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
В дифференциальном исчислении мы решали следующую основную задачу: по данной функции находили ее производную.
В то
же время многочисленные задачи науки
и техники приводят к обратной задаче:
для данной функции
найти такую функцию
,
производная которой равнялась бы
заданной функции
,
т.е.
Функция
называется первообразной
функцией для функции
на интервале
,
если
дифференцируема на интервале
и
.
Аналогично
можно определить понятие первообразной
и на отрезке
,
но в точках
и
надо рассматривать односторонние
производные.
Теорема.
Если
первообразная для функции
на
,
то
- также первообразная, где
- любое постоянное число.
Доказательство.
Имеем
.
Определение. Произвольная первообразная для на называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом
Знак
называется
интегралом,
- подынтегральное
выражение,
- подынтегральная
функция.
Таким образом, если одна из первообразных для , то
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции . Она противоположна операции дифференцирования.
Найти
,
если
.
;
;
и т.д. В общем случае
.
Или
.
Или
Функция имеет бесчисленное множество первообразных.
2. Свойства неопределённых интегралов.
1.
2.
3.
4.
Доказательство.
3. Таблица основных неопределенных интегралов.
1.
2.
3.
;
4.
5.
6.
7.
Знание следующих интегралов облегчит решение многих задач.
8.
9.
10.
Отметим, что операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям. Операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозицией элементарных функций.
Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях.
- интеграл Пуассона.
- интегралы
Френеля.
- интегральный
логарифм.
- интегральный
косинус.
- интегральный
синус.
4. Метод интегрирования подстановкой
Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)
Например.
Пример
.
.
Такого табличного интеграла
нет. Сделаем замену -
.
Отсюда
Перейдем от дифференциала
к дифференциалу
,
для чего возьмем дифференциал от левой
и правой частей формулы замены. Получим
.
Подставим в исходный интеграл:
И далее
Так
как
Но
,
поэтому
Пример
.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
