14 ОбДифУр Обыкновенные дифференциальные уравнения

Оглавление.

1. Дифференциальные уравнения их классификация.

2. Уравнения первого порядка.

3. Уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные уравнения первого порядка.

5. Линейные уравнения.

6. Уравнение Бернулли.

7. Уравнения в полных дифференциалах.

8. Дифференциальные уравнения второго порядка.

9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

1. Дифференциальные уравнения их классификация

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка можно записать так:

где - неизвестная переменная, - искомая функция переменной , - ее производные, - заданная функция своих аргументов. Функция может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от (когда речь идет об уравнении порядка).

Если данное уравнение разрешимо относительно производной порядка, его можно представить в виде

Функция , определенная и непрерывно дифференцируемая раз в интервале , называется решением дифференциального уравнения в этом интервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т.е.

2. Уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если - функция независимой переменной , то в общем виде уравнение записывается так:

Если это уравнение разрешимо относительно , то

откуда , или, в более общем виде

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , где - произвольная постоянная, обращающая данное уравнение в тождество.

Общее решение , заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (или общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра .

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении : , где - число. Аналогично определяется частный интеграл .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию при . Другими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку .

В каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение. Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственное ли оно.

Для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно форме

задача Коши имеет решение и при том единственное для любой точки , если заданная функция непрерывна вместе со своей частной производной .