Так как искомую точку находим как точку пересечения прямой с ординатой , то можно записать:

.

Тогда окончательно формула исправленного метода Эйлера запишется так:

(3.49)

Метод согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов степени .

На рис. 10 видно, что если расхождение обычного метода Эйлера равно , то у исправленного метода оно составляет , которое существенно меньше .

в) модифицированный метод Эйлера. В исправленном методе Эйлера повышение точности результата вычисления достигается за счет использования вспомогательной прямой, которая проводится с угловым коэффициентом, равным среднему угловых коэффициентов касательных, проведенных к искомой кривой в соседних узловых точках и . Но можно пойти и по другому пути, а именно, в качестве вспомогательной использовать среднюю точку между узлами. На этой основе строится модифицированный метод Эйлера.

Рассмотрение этого метода начнем с его геометрической интерпретации (рис. 11).

1. Определяем среднюю точку между соседними узлами (рис. 11  между и ) с абсциссой .

2. Проводим, как и в обычном методе Эйлера, касательную через точку .

3. Находим точку A, находящуюся на пересечении прямой и ординаты .

4. Проводим через точку A прямую , которая является касательной к кривой .

5. Из точки проводится прямая , параллельная , и находится точка как точка пересечения прямой с ординатой .

Ордината и будет искомым решением в точке .

A

h

Рис. 10 Рис. 11

Формула модифицированного метода Эйлера:

, (3.51)

На рис. 11 видно, что расхождение этого метода значительно меньше расхождения обычного метода Эйлера, равного .

Можно показать, что модифицированный метод Эйлера согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов с .

Кроме всего вышесказанного, здесь можно отметить еще одну особенность методов Эйлера, а именно: даже для малых значениях шага при неблагоприятных условиях применение этих методов может дать совершенно ошибочные результаты.

3.7. Метод РунгеКутта

Наиболее употребительной является схема РунгеКутта четвертого порядка. Запишем алгоритм этого метода в виде

, (3.56)

где

(3.57)

, (3.58)

Таким образом, метод РунгеКутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения .

В предыдущем параграфе мы рассмотрели методы Эйлера. Метод Эйлера и его модифицированные варианты могут рассматриваться как методы РунгеКутта первого и второго порядков. Метод РунгеКутта требует большего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе РунгеКутта.

Для контроля правильности выбора шага используется следующее правило:

При каждом вычисляется дробь

. (3.59)

Если A больше нескольких сотых, т.е. больше нескольких процентов, следует уменьшить шаг h (обычно следующий шаг берут h / 2).

Погрешность метода РунгеКутта пропорциональна , где n  порядок метода (так как здесь мы рассматриваем метод РунгеКутта четвертого порядка, погрешность для него будет порядка ), хотя точных способов оценки погрешности нет, и это является недостатком метода. Для грубой оценки погрешности метода применяют так называемый принцип Рунге [5]. Согласно Рунге, величину погрешности вычисляют при помощи двойного счета

, (3.60)

где  значение функции, вычисленное с шагом h/2;  вычисленное значение с шагом h.

Отметим, метод РунгеКутта при не используется [13].

В примерах на решение уравнений по методу РунгеКутта результаты будем представлять схемой, приведенной в табл. 9. Обозначения в таблице очевидны.

Пример 16. Методом РунгеКутта вычислить на отрезке [0; 0,5] интеграл дифференциального уравнения (примеры 8 и 15)

, (3.61)

приняв шаг h = 0.1.

Таблица 9. Схема метода РунгеКутта

i	x	y
				2
				2

Решение. Покажем начало процесса.

Вычисление . Последовательно имеем:

,

Отсюда

,

и, следовательно,

.

Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в табл. 10 (искомые значения функции выделены жирным шрифтом). Таким образом, . Уравнение (3.61) имеет точное решение , откуда

Метод РунгеКутта применим для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.