§3 Модель Солоу

Для математического исследования динамической модели, построенной в §1, перейдём к относительным переменным

(11)

Производительность труда и фондовооружённость были введены в рассмотрение в предыдущем пункте. Величина есть потребление на одного рабочего. её называют удельным потреблением. Если считать, что величина потребления полностью совпадает (в денежном выражении) с общей массой зарплаты, то совпадает с . Величина представляет собой долю произведённого продукта, вкладываемую в расширение производства, и называется нормой (долей) накопления. Как отмечалось в §1, для замыкания однопродуктовой динамической модели надо в частности задать закон изменения численности занятых . Сейчас мы обсудим один из возможных вариантов.

На семинарских занятиях мы выяснили, что при отсутствии войн, эпидемий, притока или оттока беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можно считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, поскольку оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.

Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы (с постоянным процентом безработных). Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом.

Под темпом роста непрерывной величины понимают

(12).

Если , то .

В дальнейшем будем считать, что речь идет о росте в буквальном понимании этого слова, т.е. . В силу (4) уравнение (2) может быть записано в следующем виде:

(13)

Отсюда и из (11) следует

.

Разделив обе части этого равенства на , с учётом (12) будем иметь . Используя формулу (8), приходим к дифференциальному уравнению, которое называют моделью Солоу:

(14)

Как видно из формул (4) и (11),

(15)

С учётом этого уравнения получим

(16) –

дифференциальное уравнение первого порядка относительно фондовооружённости.

Если задана норма накопления , то по решению уравнения (16) можно легко найти макропеременные . Действительно, если , то .

Вычислив по формулам (8-15) , можно получить и остальные макропеременные: , , .

§4 Сбалансированный рост

Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором основные макропоказатели растут с постоянным темпом. Применительно к рассмотренной модели, это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины . При сделанном в предыдущем параграфе предположении, будет обладать таким свойством: обозначим – темпы роста первых четырех показателей, и сохраним принятое обозначение для темпа роста рабочей силы. Тогда

, , , ,(17)

Покажем, что в этом случае темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (2) и (17) имеем:. Отсюда, учитывая, что , получаем .

Из (13) и (17):

(18)

Разделив обе части этого тождества на будем иметь

После дифференцирования по времени получаем

.

Это тождество при , что эквивалентно ().

Отсюда и из (18) получаем

,

что может иметь место лишь в случае .

Сопоставляя полученные соотношения между темпами роста, приходим к выводу, что . Покажем, что все эти величины равны - темпу роста рабочей силы. Поскольку величины связаны производственной функцией, то. Используя линейную однородность производственной функции, получаем. Т.к. , то отсюда следует .

Производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу, поэтому полученное тождество может выполняться лишь в том случае, когда есть константа, т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Итак, при сбалансированном росте темпы изменения основных макропоказателей должны быть одинаковы. Отсюда, в частности, следует, что при сбалансированном росте норма накопления и фондовооружённость не зависят от времени. Это означает, что траектории сбалансированного роста отвечает решение дифференциального уравнения Солоу (16), имеющее вид . Найдя такое решение, можно легко определить основные макропеременные:

(19)

Покажем, что в рассматриваемой модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.

Постоянное решения дифференциального уравнения (16), соответствующее сбалансированному росту, обращает левую часть этого уравнения в нуль, то есть является корнем следующего конечного уравнения:

(20)

Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (20) имеет в области (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Для этого исследуем свойства функции

(21)

Поскольку (см. § 2), то . В силу (10) имеем

Отсюда, в частности, следует, что в некоторой правосторонней окрестности нуля функция принимает положительные значения.

Далее, из (9) следует . Тогда при достаточно больших. Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке функция обращается в ноль. Осталось доказать единственность.

Поскольку (см. параграф 2), то и , то есть - строго вогнутая функция. Тогда, как легко убедиться, она не будет иметь положительных нулей, отличных от. Возможный график этой функции приведен на рисунке «Муравейник».

Итак, при фиксированной постоянной норме накопления уравнение (20) имеет в области единственное решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория сбалансированного роста при каждом .

Замечание. Легко видеть, что чем больше норма накопления, тем больше фондовооружённость на траектории сбалансированного роста.