6 Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—V

6.1. Группа III. Аксиомы конгруэнтности. Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отно­шении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается сло­вом «конгруэнтен» или «равен» и обозначается символом « = ». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом.

III₁. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ = А' В'.

Можно доказать, что точка В' на данном луче единственная.

III₂. Если А'В' = АВ и А" В" = АВ, то А'В' = А" В".

III₃. Пусть А - В - С, А' - В' - С', АВ = А' В' и ВС = В'С'. Тогда АС = А' С'.

III₄. Пусть даны и флаг⁴ (О', h', ). Тогда в полуплоско­сти существует один и только один луч k', исходящий из точки О', такой, что .

Каждый угол конгруэнтен самому себе.

III₅. Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С' - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ= А'В', АС=А'С', , то .

Укажем некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конг­руэнтности.

. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

По Гильберту, треугольник АВС называется конгруэнтным (рав­ным) треугольнику A'B'C' (), если АВ=А'В', ВС = В'С', СА = С'А', , , .

. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников.

В качестве примера приведем доказательство первого признака равенства треугольников.

Если в треугольниках АВС и A'B'C' АВ = А'В', АС = А'С', , то .

Доказательство:

Так как АВ=А'В', АС = А'С', , то по аксиоме III₅ ,т.е. . Далее АВ = А'В', АС=А'С',, то по той же аксиоме , т.е. .

Докажем теперь, что ВС = В'С'. Доказательство проведем ме­тодом от противного. Пусть . По аксиоме III₁ на луче В'С' существует точка D', для которой . Так как точки С' и D' не совпадают, то лучи А'С' и A'D' также не совпадают (рис. 211 ). Из равенств ВА = В'А', ВС = B'D', , применяя аксиому III₅, получим . Но по условию . Последние два равенства противоречат условию единственности в аксиоме III₄. Следовательно, ВС = В'С'.

Доказательство завершено.

Пользуясь признаками равенства треугольников, легко доказать утверждение.

. Отношение конгруэнтности углов является отношением экви­валентности на множестве углов.

Далее даются обычные определения понятий «больше» и «мень­ше» для отрезков и углов и устанавливаются свойства сравнения отрезков и углов. Вводится понятие смежных углов и дается опре­деление прямого угла: угол называется прямым, если он равен углу, смежному с ним. Доказывается, что все прямые углы равны, друг другу.

Затем можно доказать известные теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

. Внешний угол треугольника больше каждого угла треуголь­ника, несмежного с ним.

. В каждом треугольнике против большей стороны лежит боль­ший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона.

В заключение этого пункта отметим, что аксиомы групп 1—III поз­воляют дать обычные определения середины отрезка и биссектрисы угла и доказать следующие теоремы.

. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.

. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису.

6.2. В этом пункте мы несколько отклоняемся от схемы Гильберта и последние три аксиомы и следствия из них изложим так, как это принято в учебной литературе.

Группа IV. Аксиомы непрерывности.

IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD - какие-нибудь отрез­ки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек , таких, что выполняются условия:

а) А—А;

б) ;

в)

IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число n, такое, что . Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Ясно, что такая точка М единственная. В самом деле, если пред­положить, что точка N, отличная от точки М, также принадлежит каждому из отрезков данной последовательности, то получим при любом n, что противоречит аксиоме.

К важнейшим следствиям из аксиом групп I—IV относится теория измерения отрезков и углов⁵. Построив теорию измерения отрезков, легко дока­зать, что существует биекция множества точек прямой на множество R вещественных чисел, сохраняющая порядок. Таким образом, точки на прямой расположены непрерывно одна за другой, как и числа во множестве R. Следствиями аксиом групп I - IV являются также известные теоремы о пересечении прямой и окружности и двух окруж­ностей.

6.3. Для обоснования евклидовой теории параллельных Гильберт к аксиомам групп I - IV добавляет еще одну аксиому параллельных прямых.

Группа V. Аксиома параллельности.

Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пере­секающей а.

Ранее было доказано, что эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида.

На основе всех аксиом групп I - V можно построить теорию па­раллельных прямых по Евклиду, доказать теоремы о сумме углов треугольника и выпуклого многоугольника, изучить свойства парал­лелограммов и трапеций, построить теорию подобия и т. д. Заметим еще, что аксиомы групп I - V позволяют обосновать обычную триго­нометрию, изучаемую в средней школе, а также декартову анали­тическую геометрию. В частности, пользуясь теоремой Пифагора, для доказательства которой необходимо использовать аксиому V, вы­водится известная формула для вычисления расстояния между двумя точками по координатам этих точек. Кроме того, доказывается, что плоскость в пространстве определяется уравнением первой сте­пени, а прямая — системой двух уравнений с тремя переменными. Таким образом, мы получаем возможность приложить алгебру к до­казательству теорем геометрии.

Отметим, наконец, что, пользуясь аксиомам групп I - V, мож­но ввести понятия площади многоугольника и объема многогран­ника.

Замечания.

1. В «Основаниях геометрии» Гильберта груп­пу IV аксиом составляет аксиома параллельности, а группу V — аксиомы непрерывности, причем вместо аксиомы Кантора Гильберт берет другую аксиому, которую он назвал аксиомой линейной полно­ты. Формулировка этой аксиомы довольно громоздкая, и мы ее не при­водим.

2. Геометрию, построенную на аксиомах групп I—IV, называют абсолютной геометрией. Все теоремы и определения, сформулиро­ванные нами в §5 и п. 1,2 §6 являются теоремами абсолютной геометрии. К ним еще следует присоединить лемму 1 §3 и теоре­му 4 того же параграфа, которые доказываются без помощи аксиомы параллельности.