31

Геометрия от евклида до лобачевского

1 Геометрия до Евклида

1. Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями Древнего Востока 0 в Египте, Вавилоне, Китае, Индии - в связи с развитием земледелия. Дошедшие до нас памятники древнейших культур Вавилона и Египта свидетельствуют о том, что в этих странах геометрия имела эмпирический характер и представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Так, во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь треугольника и объем четырехугольной усеченной пирамиды; площадь S круга радиуса R вычисляли по формуле , что дает для достаточно точное значение: .

В Вавилоне, как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерений. Уже во II тысячелетии до н.э. вавилоняне знали так называемую теорему Пифагора. Отметим, что в математике Древнего Востока (Вавилон и Египет) мы не находим никаких доказательств, а только конкретные правила.

2. Геометрия в Древней Греции начала развиваться в VII – VI вв. до н.э. под сильным влиянием египтян. По преданию, отцом греческой математики является представитель так называемой милетской школы, знаменитый философ Фалес (640 – 548 гг. до н.э.) из греческого города-государства Милета. Согласно дошедшим до нас преданиям Фалесу принадлежат доказательства некоторых простейших предложений геометрии – свойства углов при основании равнобедренного треугольника, свойства вертикальных углов и некоторых других теорем. В дальнейшем геометрами Древней Греции были получены значительные результаты, охватывающие почти все содержание современных школьных курсов геометрии.

В философской школе Пифагора (около 570 – 471 гг. до н.э.) математика занимала господствующее положение. Считается, что последователи этой школы – пифагорейцы – открыли теорему о сумме углов треугольника, дали доказательство теоремы Пифагора, установили существование пяти типов правильных многогранников, существование несоизмеримых отрезков (их открыл ученик Пифагора - Гиппас).

Демокрит (около 470 – 370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (около 410 – 356 гг. до н.э.) – создатель геометрической теории пропорций, заменявшей грекам теорию иррациональных чисел, которых греки не знали. Евдокс открыл также метод исчерпывания: «Если от величины А отнятьА или больше, с остатком проделать то же и т.д., то можно получить такую величину, которая меньше любой, наперед заданной». Этим методом Евдокс находил объемы пирамид, конуса и шара. Ученик Евдокса – Менехм – открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Аполлоний (256 – 170 гг. до н.э.). Архимеду (287 – 212 гг. до н.э.) принадлежит открытие правил для вычисления площади поверхности шара и некоторых других фигур и объемов ряда тел. Он нашел приближение для числа ().

Особой заслугой древнегреческих ученых является постановка задачи о построении системы геометрических знаний и решение ее проблемы в первом приближении. Задача эта была поставлена рядом древнегреческих философов, из которых в первую очередь следует указать Платона (около 429 – 348 гг. до н.э.) и особенно Аристотеля (около 381 – 322 гг. до н.э.). Аристотель – крупнейший философ древности, основатель формальной логики. Хотя он непосредственно и не занимался геометрией, но именно ему принадлежат четко оформленные идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из других на основе одних лишь правил логики.