Общие вопросы аксиоматики. Обоснование евклидовой геометрии.

Как было отмечено в предыдущей главе, основным методом современной математики является аксиоматический метод, который берет свое начало от «Оснований геометрии» Д. Гильберта. Этот метод тесно связан с понятием математической структуры, с которым читатель познакомится в следующем параграфе.

11 Понятие о математической структуре.

1. Напомним понятие отношения. Пусть даны непустые множества М₁, M₂, ..., М_n. Всякое подмножество ΔМ₁М₂...М_n называет­ся n-арным (или n-местным) отношением, определенным во множест­вах М₁, M₂, ..., М_n. Говорят, что элементы m₁, m₂, ..., m_n (m_i M_i) на­ходятся в отношении Δ, если (m₁, m₂, ..., m_n )Δ.

Если М₁= M₂= ...= М_n= М и, следовательно, М₁ М₂ ... М_n =Мⁿ (n-я декартова степень множества М), то говорят, что n-арное отношение ΔМ ⁿ определено во множестве М.

В случае бинарного отношения (п = 2) ΔМ₁ М₂ вместо (m₁, m₂ )Δ. пишут:

m₁ Δ m₂.

Заметим, что всякое отображение порождено некоторым отношением. В самом деле, пусть Х и Y—непустые множества и дано отображение f : Х Y, которое каждому элементу х Х ставит в соответствие по некоторому закону определенный элемент f (х) Y. Тогда определено подмножество f (X) Y, состоящее из образов f (х) всех элементов х из Х ( f (X) - образ множества Х в данном отображении). Обозначим Х х f (X) через Δ. Очевидно, Δ Х х Y, т. е. Δ - бинарное отношение, определенное во множествах Х и Y. При этом элементы х Х и у Y находятся в отношении Δ, если у = f (х). Говорят, что отображение f порождено отношением Δ.

Пусть на множестве Е определена алгебраическая операция (внутренний закон композиции):

: Е Е Е

Здесь определено подмножество Δ Е ³, образованное такими элементами (а, b, с) из Е ³, для которых (а, b) = с. Мы видим, что тернарное ( п = 3) отношение Δ порождает внутренний закон композиции .

Рассмотрим на множестве Е внешний закон композиции со множеством операторов Λ:

g: Λ Е Е

(при этом мы будем применять мультипликативную запись f (, a)= а, где Λ, а Е). В этом случае определено подмножество Δ Λ ЕE, образованное теми элементами (, а, b) из Λ ЕE, для которых а = b. Очевидно, тернарное отношение Δ порождает внешний закон композиции g.

Таким образом, при помощи отношений, заданных во множествах, можно определять как отображения одних множеств в другие, так и законы композиции на множествах.

2. Если в декартовом произведении мы выде­лим два различных подмножества и , то получим два раз­личных отношения, определенные на системе множеств М₁, М₂, ..., М_n. Свойства отношения будут в чем-то отличаться от свойств от­ношения (так как ).

Таким образом, на системе множеств М₁, М₂, ..., М_n существует столько различных отношений, сколько различных элементов содер­жит множество Р(М₁хМ₂х...хМ_n) всех подмножеств множест­ва М₁ х М₂ х…х М_n. Этих отношений будет бесконечное множест­во, если хоть одно из множеств М_i бесконечно. Поэтому было бы без­надежным делом ставить такую задачу: изучить свойства всевозмож­ных отношений, которые существуют на данной системе множеств М₁, М₂, ..., М_n.

Математика (развитие которой, как известно, определяется потребностями практики) и не ставит такой задачи. Можно сказать, что математики поступают в известном смысле наоборот: ищут и изучают множества, на которых существуют отношения с наперед указанными (нужными нам) свойствами.

3. Возьмем конечную систему различных непустых множеств. Для простоты ограничимся тройкой множеств Е, F, G. Обозначим через ₁,₂,…_k некоторые отношения на системе множеств Е, F, G. Эти отношения мы не будем фиксировать как определенные подмножества декартовых произведений взятых множеств, а лишь потребуем, чтобы они обладали заданными свойствами:

А₁,А_2,…А_t, (1)

которые мы явно формулируем.

Может случиться, что с заданными свойствами существует не одна система отношений , …, (т. е. не одна система подмножеств _i декартовых произведений множеств Е, F, G (j=1, 2, ..., k ), а несколько). Вот простой пример.

Пусть — алгебраическая операция на множестве R вещественных чисел (выше отмечалось, что можно рассматривать операцию как отношение R³, и мы требуем, чтобы это отношение обладало только одним свойством А₁ — свойством коммутативности: для любых двух чисел а,b R ( a,b)Можно указать две коммутативные операции на множестве R (два значения отношения , обладающего свойством А₁): ^/ — сложение и ^// — умножение вещественных чисел.

Обозначим через Т множество всех систем = {₁, ..., _k} отно­шений ₁, ..., _k, каждая из которых обладает заданными свойства­ми (1). Если Т Ø, то говорят, что элемент Т определяет на множествах Е, F, G структуру рода Т (точнее, математическую структуру рода Т).

Явно сформулированные свойства (1), определяющие множество Т, называются аксиомами структур рода Т, а множества Е, F, G — базой структур рода Т. Всем структурам одного и того же рода дают специальное название: структура группы, структура n-мерного евклидова пространства и т. д.

Пример 1 (структура группы). В геометрии этот род структур принято определять следующим образом.

База состоит из одного непустого множества Е, система отношений состоит из одного отношения , которое должно удовлетворять четырем аксиомам:

А₁: — алгебраическая операция на множестве Е;

А₂: для любых элементов а, Ь, с из Е имеем ((а,b),с) =(а,(b,с)) {ассоциативность);

А₃: существует элемент е в Е, такой, что для любого а Е имеем (a,е) = (е, а) = а (существование нейтрального элемента);

А₄: для любого элемента а из Е существует элемент а' из Е, такой, что (а, а') = (а', а) = е (существование элемента а', симметрич­ного элементу а).

Множеству, на котором определена структура данного рода, дают специальное название. Так, в рассмотренном примере мы скажем: «Е — группа», а полностью следовало бы сказать так: «На множест­ве Е определена структура рода структуры группы».

Пример 2 (структура евклидова пространства по Гильберту) .

По Гильберту, база структуры евклидова пространства состоит из трех множеств Е, F, G. Элементы первого множества Е назы­ваются точками, элементы множества F — прямыми, а элементы множества G — плоскостями.

На системе множеств E, F, G существуют отношения , и , которые обозначены соответственно словами «лежит на», «лежит между» и «равны». Список аксиом Гильберта состоит из двадцати аксиом: I₁ – I₈, II₁—II₄, III₁—III₅, IV₁, IV₂, V, которые сформулиро­ваны в §5, 6.

Эту систему аксиом коротко обозначим через _H.

Пример З (структура пространства Лобачевского).

База струк­туры состоит из тех же трех множеств Е, F, G, что и в примере 2, элементы которых называются соответственно точками, прямыми, пло­скостями.

На системе множеств Е, F, G существуют те же отношения , , , что и в примере 2, которые обозначены соответственно словами «лежит на», «лежит между» и «равны». Список аксиом состоит из двадцати аксиом: I₁- I₈, II₁- II₄, III₁- III₅, IV₁, IV₂, V*- Этот список отличается от списка аксиом Гильберта тем, что аксиома V заменена аксиомой V*. Эту систему аксиом коротко обозначим через _A

Если база состоит из нескольких множеств, например из трех: Е, F, G, то иногда одно из этих множеств, например Е, играет основную роль в определяемых структурах. Тогда говорят, что эти структуры определены на множестве Е, а множества F и G рассматривают как вспомогательные.

4. Теория структур рода Т — это множество Г (Т) предложений (теорем), каждое из которых является логическим следствием аксиом системы ,определяющих Т. Так, мы имеем теорию групп, теорию колец, теорию (геометрию) аффинных пространств, геометрию евклидовых пространств и т. д. Вместо Г(Т) иногда пишут: Г().

Математика занимается изучением математических структур. Основным ее методом служит аксиоматический метод: структура каждого рода определяется при помощи соответствующего списка аксиом, а дальше чисто логическим путем строится теория структур этого рода.

Таким образом, хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной отраслью знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщенные направления исследования, мы можем сказать, что математика — это единая наука. Ее предмет исследования — множество математических структур; ее основной метод — аксиоматический метод.