12 Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм структур.

1. Не на всяком множестве Е можно определить любую структуру. Например, на множестве Е={0,1, 2, 3, 4, 5} нельзя определить структуру n-мерного векторного пространства над полем R, но ту же структуру легко определить на множестве

Rⁿ = R  R  R  … R (n раз).

Следовательно, при определении математической структуры случай Т = Ø может возникнуть по двум причинам:

а) данная база не допускает структуру требуемого рода, но при другом выборе базы такая структура существует;

б) не существует базы, допускающей требуемую структуру (при любом выборе базы оказывается, что Т = Ø).

В последнем случае говорят, что система аксиом А₁, А₂, ..., а_t, оп­ределяющая множество Т, противоречива. Если же существует база, на которой можно задать рассматриваемую структуру (и значит, ТØ), то система аксиом называется непротиворечивой.

При изучении общей теории Г (Т) структур рода T мы обычно не фиксируем базу, желая найти наиболее общие свойства структур этого рода. Но мы должны быть уверены, что существует база, допускающая структуру рассматриваемого рода, т. е. что соответствующая система аксиом непротиворечива.

Допустим, что мы нашли конкретное множество М, на которое можно придать конкретный смысл отношениям _1,2,…_k так, что все аксиомы А_1, А₂,…А_t оказываются выполненными (и значит, на множестве М определяется структура рода Т). Тогда говорят, что мы построили интерпретацию системы аксиом А₁, А₂, ..., A_t, а само множество М называют моделью структуры рода Т.

Пример 1. Пусть М — множество квадратных матриц второго порядка с ве-щественными элементами. Вводя обычным путем сложение матриц и умножение их на числа из R, мы видим, что М становится моделью 4-мерного векторного пространства над полем R.

Таким образом, чтобы доказать непротиворечивость системы аксиом А₁, А₂, ..., А_t, достаточно построить хотя бы одну ее интерпретацию.

З а м е ч а н и е. Систему аксиом А₁, А₂, ..., А_t, определяющую структуры рода Т, мы назвали непротиворечивой, если существует база, на которой можно определить структуру этого рода (т. е. если можно построить интерпретацию данной системы аксиом). Иногда такую систему аксиом называют содержательно непротиворечивой⁸.

2. Систему аксиом называют внутренне непротиворечивой, если из нее нельзя получить логическим путем два утверждения, из которых одно является отрицанием другого.

Чтобы решить вопрос о внутренней непротиворечивости данной системы аксиом, надо изучить, так сказать, самую технику логических выводов предложений из аксиом. Это одна из задач математической логики. Здесь мы отметим лишь следующее. Если установлено, что система аксиом содержательно непротиворечива, т. е. построена ее интерпретация, то проблема внутренней непротиворечивости этой системы аксиом сводится к вопросу о внутренней непротиворечивости системы тех понятий, которые были использованы при построении интерпретации.

Если известно, что эта система понятий внутренне непротиворечива, то, доказав содержательную непротиворечивость данной системы аксиом, мы устанавливаем тем самым и ее внутреннюю непротиворечивость.

Таким образом, если не исследовать технику логических выводов средствами математической логики, а оставаться только в рамках геометрии, то мы можем решать вопрос только о содержательной непротиворечивости данной системы аксиом.

3. Пусть система аксиом А₁, А₂, ..., А_t (содержательно) непротиворечива и, следовательно, определяет структуры рода Т с основными отношениями _1,2,…,_k.

Пусть на множестве М^/ мы придали конкретный смысл ^/₁, ^/₂,…^/_k отношениям _i так, что все аксиомы А₁, ..., А_t выполнены. Можно сказать, что на множестве М^/ определена структура ^/ Т. Пусть на множестве М ^// таким же путем определена структура ^// Т с конкретным смыслом ^//₁, ^//₂,…,^//_k отношений _i, Структуры ^/ и ^// (а также и модели М^/ и М^// называются изоморфными, если сущест­вует биекция (называемая изоморфизмом) f:М^/ М^//, такая, что (х^/, у^/, ..., v^/) ^/_iтогда и только тогда, когда (f(x^/), f(y^/), ..., f(v^/)) ^/i, т. е. если элементы х^/, у^/, ..., v^/ М^/ находятся в отношении ^/_i, то соответствующие элементы f(x^/), f(y^/), ..., f(v^/) М^// нахо­дятся в отношении ^//_i.

Пример 2. Пусть Т — род структуры абелевой группы. Рас­смотрим две конкретные структуры этого рода:

^/ — множество R вещественных чисел как аддитивная группа;

^// — множество R* ₊ положительных чисел как мультипликатив­ная группа.

Рассмотрим биекцию f : R^*₊ R по закону: для любого х R*₊. f(x) = ln х.

Так как ln(ху) = ln х + ln у, то f(xy) = f(x) + f(y), следовательно, структуры ^/ и ^// изоморфны (или, как говорят, изоморфны указан­ные группы R и R^*₊).

Изоморфизм множества М (на котором определена структура на себя называется автоморфизмом этого множества.