3 Пятый постулат Евклида

В этом и следующих параграфах без особых оговорок предполагается, что все точки, прямые и другие геометрические фигуры лежат в одной плоскости.

1. Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Отметим, что без помощи пятого постулата можно доказать целый ряд теорем, в том числе три признака равенства треугольников и ряд других свойств треугольников. Особо выделим теорему о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше любого его угла, с ним несмежного. Пользуясь этой теоремой, без помощи V постулата докажем лемму, которая используется в дальнейшем изложении.

3.1 Лемма . Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы (или соответствующие углы) равны, то прямые не пересекаются.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны (например, на рис. 206). Если допустить, что прямые пересекаются в некоторой точке P, то получим треугольник ABP, у которого один из углов при вершине A или B равен внешнему углу при другой вершине (рис. 206). Но это противоречит теореме о внешнем угле треугольника. Второе утверждение непосредственно следует из доказанного.

Доказательство завершено.

Пользуясь этой леммой, легко доказать (не пользуясь V постулатом), что через каждую точку M, не лежащую на прямой a, проходит прямая параллельная прямой a.

В самом деле, пусть MN – перпендикуляр, проведенный из точки M к прямой a, а b – прямая, проходящая через точку M перпендикулярно к прямой MN. По предыдущей лемме прямые a и b не пересекаются, то есть они параллельны.

Возникает вопрос: сколько же через точку M, не лежащую на прямой a, проходит прямых, параллельной прямой a? Ответ на него дает следующая теорема.

3.1.Теорема. Если имеет место V постулат, то через каждую точку M, не лежащую на прямой a, проходит только одна прямая, параллельная прямой a.

Доказательство. Проведем прямую MN, перпендикулярную к прямой a, , и прямую b, проходящую через точку M перпендикулярно к прямой MN . Тогда прямые a и b параллельны.

Поведем через точку M произвольную прямую , отличную от прямой b. Один из смежных углов 1 либо 2, отмеченных на рисунке , острый; пусть острый. При пересечении прямых a и с прямой MN получаем внутренние односторонние углы: и , сумма которых меньше двух прямых углов, значит, по V постулату прямые a и пересекаются. Теорема доказана.

Докажем обратную теорему.

3.2. Теорема. Если принять, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, то справедлив V постулат.

Доказательство.Пусть при пересечении прямых a и b секущей MN образованы внутренние односторонние углы и так, что

, (1)

где d – мера прямого угла. Докажем, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке, лежащей в полуплоскости, в которой лежат углы и (рис. ).

Обозначим через угол, смежный с углом и накрест лежащий с углом (рис. 208). Так как , то из (1) следует, что .

Отложим от луча MN угол MNP, равный углу , так, чтобы MP и были накрест лежащими углами при пересечении прямых MP и a прямой MN. По лемме 1 прямые MP и a параллельны. В силу неравенства прямые MP и b не совпадают. Так как через точку M проходит только одна прямая, параллельная прямой a, то прямые a и b пересекаются в некоторой точке S.

Если предположить, что точка S лежит в той полуплоскости, в которой лежит угол , то в силу неравенства придем к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника. Таким образом, S – точка той полуплоскости, в которой лежат углы и .

Итак, V постулат эквивалентен (равносилен) так называемой аксиоме парал-лельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, параллельная данной.

1. Существует ряд других предложений, эквивалентных V постулату, одним из которых является утверждение: сумма углов каждого треугольника равна двум прямым. В самом деле, если имеет место V постулат, то из теоремы 1 следует, что справедлива аксиома параллельных прямых, а отсюда, как известно из школьного курса геометрии, вытекает, что сумма углов каждого треугольника равна двум прямым углам. Докажем обратное утверждение.

3.3. Теорема. Если принять, что сумма углов каждого треугольника равна 2d, где d – мера прямого угла, то имеет место V постулат.

Доказательство:

Учитывая теорему 2, достаточно доказать, что если сумма углов любого треугольника равна 2d, то имеет место аксиома параллельных прямых.

Пусть a – прямая, M – точка, не лежащая на данной прямой, а MN – перпендикуляр, проведенный из точки M к прямой a (рис. 209). Рассмотрим прямую b, проходящую через точку M и перпендикулярную к прямой MN. По лемме 1 эта прямая параллельна прямой a.

Докажем, что любая другая прямая , проходящая через точку M, пересекает прямую a. Обозначим через острый угол, который составляет прямая с прямой MN (рис. 209). На прямой a от тоски N со стороны угла отложим последовательно отрезки . Так как по усыловию теоремы сумма углов каждого треугольника равна 2d, то . Но - внешний угол равнобедренного треугольника , поэтому или . Продолжая далее, находим . Отсюда следует, что .

По условию , поэтому n можно выбирать так, чтобы . В этом случае прямая проходит внутри угла , поэтому она пересекает отрезок . Таким образом, прямые и a пересекаются.

2. В заключении рассмотрим две теоремы о сумме углов треугольника, которые доказываются без помощи V постулата и предложений, эквивалентных этому постулату. Предварительно докажем лемму. Условимся сумму углов треугольника ABC обозначать через , а меру прямого угла – через d.

3.4. Лемма. Для произвольного треугольника ABC можно построить треугольник так, чтобы и .

Доказательство:

Пусть - точка, симметричная точке A относительно середины O стороны BC. Докажем, что - искомый треугольник (рис. 210). В самом деле, из равенств и следует, что (относительно обозначений см. рис. 210). Но , , поэтому .

Так как угол и , то по крайней мере один из углов или треугольника не больше угла .

Доказательство завершено.

Пользуясь этой леммой, докажем первую теорему Саккери – Лежандра.

3.5. Теорема. Сумма углов любого треугольника не больше двух прямых.

Доказательство. Теоремудокажем методом от противного. Пусть существует треугольник ABC, такой, что , где . Применяя предыдущую лемму к треугольнику ABC n раз, построим треугольник , удовлетворяющий условиям и . Выберем n так, чтобы . Так как , то .

С другой стороны, легко доказать, что . В самом деле, если - мера внешнего угла треугольника , смежного с углом , то , а по теореме о смежных углах , поэтому . Таким образом мы пришли к противоречию, следовательно не существует такого треугольника ABC, сумма углов которого больше, чем 2d.