5 Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I – II

5.1. По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго – прямыми, а элементы третьего множества – плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответствующими буквами A, B, C, ...; a, b, c, ...; . Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, то есть основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые перечисленные ниже.

Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп. Первые две группы рассмотрим в этом параграфе, а остальные три группы – в следующем.

5.2. Группа 1. Аксиомы принадлежности. Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит на», «проходит через»). Группа I состоит из следующих восьми аксиом:

I₁. Каковы бы ни были две точки³ A, B, существует прямая а, проходящая через эти тоски.

I₂. Каковы бы ни были точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄. Каковы бы ни были три точки А, В, и С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость , проходящая через эти тоски. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I₅. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I₆. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой а лежит в плоскости .

В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую а.

I₇. Если две плоскости и имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

I₈. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказывается, так как они наглядно очевидны. Перечислим некоторые из этих теорем.

. Две прямые имеют не более одной общей точки.

. Если две плоскости имеют общую тоску, то они имеют общую пря-мую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

. Через прямую и не лежащую на ней точку, также через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость.

. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

5.3. Группа II. Аксиомы порядка. Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точками А и С, то мы запишем так: А – В – С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы.

II₁. Если А – В – С, А, В, С – различные точки одной прямой и С – В – А.

II₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А – В – С.

II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

По Гильберту, отрезком АВ (или ВА) называется пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точки, лежащая между ними, - внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка.

II₄ (аксиома Паша). Пусть А.В,С - три точки, не лежащие на одной прямой, а а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка ВС или АС.

Можно доказать, что утверждение, сформулированное в аксиоме Паша верно и в том случае, когда точки А, В, С лежат на одной прямой. Нетрудно также доказать, что если прямая а проходит пересекает какие либо два из трех отрезков АВ, ВС, АС, то она не пересекает третий из этих отрезков.

С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек. Заметим, однако, что с помощью аксиом I и II групп нельзя доказать, что это множество несчетное. В дополнение к аксиоме II₃ можно доказать, что из трех точек прямой всегда одна точка лежит между двумя другими.

Аксиомы группы I – II позволяют ввести такие важные понятия геометрии, как понятие полуплоскости, луча и полупространства. В качестве примера ведем понятие полуплоскости.

Теорема. Прямая а, лежащая в плоскости , разделяет множество точек этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два непустых подмножества так, что если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет с прямой а общих точек; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.

Доказательство:

Обозначим через множество всех точек плоскости , не лежащих на данной прямой. На множестве ведем бинарное отношение следующим образом. Будем говорить, что точки А и В принадлежащие множеству находятся в отношении , если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а или если точки А и В совпадают. Нетрудно видеть, что является отношением эквивалентности на множестве . Выполнение условий рефлексивности и симметричности следует из определения отношения , а условие транзитивности – из аксиомы Паша и ее обобщения на случай, когда точки лежат на одной прямой.

Докажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Пусть А – точка, не лежащая на прямой а, М –точка этой прямой, а В – такая точка, что А – М – В. Такие точки существуют согласно аксиомам I₃ II₂. Классы эквивалентности К_А и К_В не совпадают, так как отрезок АВ имеет общую точку М с прямой а. Нетрудно видеть, что любая точка принадлежит либо классу К_А, либо классу К_В. Если отрезок АС не имеет общих точек с прямой а, то , в обратном случае . В самом деле, отрезки АС и АВ имеют общие точки с прямой а, поэтому отрезок ВС не имеет общих точек с этой прямой.

Ясно, что два элемента фактор-множества удовлетворяют всем условиям теоремы.

Доказательство завершено.

Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой, называется полуплоскостью плоскости с границей а.

Аналогично вводится понятие луча и полупространства. Лучи обозначаются через h, k, l … или OA, OB, … (О – начало лучей, а А, В – точки лучей). Прямую, на которой лежит луч h, будем обозначать . Можно ввести понятие определение угла, обычное определение простого многоугольника и его внутренней области, выпуклого многоугольника и его углов. Остановимся более подробно на понятии угла, так как оно необходимо для дальнейшего изложения.

По Гильберту, угол – пара лучей h и k, исходящих из одной точки О и не лежащих на одной прямой. Точна О называется вершиной угла, а лучи k и h – сторонами угла. Для углов применяются обычные обозначения: , , . Точка М называется внутренней точкой угла, если точка М и луч h лежат в одной полуплоскости с границей и точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей . Множество всех внутренних точек называется внутренней областью угла. Отметим, что внутренняя область угла – бесконечное множество точек. В самом деле, легко доказать, что все точки любого отрезка с концами на разных сторонах угла являются внутренними точками этого угла. Отсюда, учитывая, что отрезок содержит бесчисленное множество точек, и следует сформулированное выше утверждение. Можно доказать теорему (теорема о внутреннем луче угла): если луч исходит из вершины угла и имеет хотя бы одну внутреннюю точку, то он пересекает любой отрезок с концами на разных сторонах угла.