- •Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
- •Базис. Разложение векторов по базису.
- •Действия над векторами, заданными своими координатами
- •154. Возвышение в квадрат произведения, степени и дроби.
- •[Править] Примеры
- •42. Квадратные неравенства
- •43. Уравнение содержащие переменную под знаком модуля
- •44. Неравенство с модулем
- •45. Числовые последовательности, виды
44. Неравенство с модулем
Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.
Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.
Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.
Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.
Рассмотрим неравенство Очевидно, что те x , для которых g ( x ) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g ( x ) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе Таким образом, имеем
Аналогично можно рассмотреть неравенство Неравенство выполнено для тех x , для которых g ( x ) < 0 и функции f ( x ) и g ( x ) определены. Для тех x , для которых g ( x ) ≥ 0, имеем равносильную совокупность
Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g ( x ) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g ( x ) ≤ 0 и вспомнив
45. Числовые последовательности, виды
Понятие последовательности
Последовательностью элементов множества E называется отображение
т. е. функция, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие элемент .
Для записи последовательности употребляем обозначения (xn), или x1, x2, ..., xn, ..., или xn = f(n), .
Элементы x1, x2, ..., xn, ... называются членами последовательности, а xn - общим членом последовательности.
Множество E может быть различным, например: R, Rm, C[a, b], и т.д. Если E = R, то последовательность называется числовой, если E = Rm, - векторной, если E = C[a, b], - функциональной, если E = - матричной и т. д. В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство.
Сходящиеся последовательности и их свойства
Рассмотрим числовые последовательности.
Последовательность (xn) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство |xn - a| < ε.
При этом число a называют пределом последовательности (xn), что символически записывают
или xn → a при n → ∞.