1. Как решаются нер-ва с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля.

Пусть дано неравенство . Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и т.д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения и при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства и равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Пример 1

Решите неравенство

Решение

Перейдём к равносильной совокупности. Ответ.

15. свойства функции(монотонность, возрастание, убывание, четность, нечетность, обратная пропорциональность).

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) назы­вается возрастающей на ин­тервале (а; b), если для лю­бых x₁ и x₂ из этого интерва­ла таких, что x₁< x₂ , спра­ведливо неравенство f(x₁)<f(x₂).

Убывающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у =f (x) назы­вается убывающей на интер­вале (а; b), если для любых  x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂, справед­ливо неравенство f(x₁)>f(x₂).

 

5. Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала коор­динат и для любого х из области определения выпол­няется равенство f(-x) = f(x). График четной функ­ции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х² -  четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой об­ласть определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечет­ной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х³ - нечетная функция.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

16. Разложение вектора в базисе.