Базис. Разложение векторов по базису.

     Определение. Базисом в пространстве Rⁿ называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rⁿ, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.      Пусть – базис пространства Rⁿ и . Тогда найдутся такие числа λ₁, λ₂, …, λ_n, что .      Коэффициенты разложения λ₁, λ₂, …, λ_n, называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.      Пример. Доказать, что векторы образуют базис в R³.      Решение. Покажем, что равенство возможно только при λ₁ = λ₂ = λ₃ =0:           или      Решив систему, получим λ₁=0, λ₂=0, λ₃=0. Так как все λ_i=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R³.      Очевидно, любой новый набор из векторов может тоже быть взятым в качестве базиса в R³. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.      Пример. Разложить вектор по базису .      Решение. . Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:           Приравняв координаты, получим систему уравнений:           Решим ее: .      Таким образом, получим разложение: .      В базисе вектор имеет координаты .     Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе.

17. Декартова система координат

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Рис. 1

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: .

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

18. Действия с векторами с координатами

Векторными величинами, или векторами, называют величины, имеющие и численное значение, и направление. Скалярными называют величины, имеющие численное значение, но не имеющие направления. Примеры - количество каких-нибудь предметов, длина, плотность.

Векторные величины обозначают в тексте буквами со стрелками (например,или), а на чертежах - стрелками, при этом длина стрелки равна численному значению вектора, а направление совпадает с направлением вектора