1. Коливання, амплітуда, фаза, швидкість, прискорення.

Коливаннями або коливальними рухами називають такі види механічного руху чи зміни стану системи, які періодично повторюються в часі, наприклад, механічні коливання тіла на пружині, коливання маятників, коливання струн, вібрації фундаментів будівель, електромагнітні коливання в коливальному контурі.

Коливання, які відбуваються лише під дією внутрішніх сил, називають вільними. Вимушеними коливаннями називаються коливання які здійснюються під дією періодично діючих зовнішніх сил. Ці коливання здійснюють поршні в циліндрах двигунів, голка швацької машини. Ще одним видом незагасальних коливань є автоколивання. Це коливання, які підтримуються внутрішніми джерелами енергії системи, коли не діє зовнішня періодична сила. Наприклад, настінний годинник з маятником або наручний механічний годинник - це механічні автоколивальні системи.

Рівняння механічних коливань: x = Asin(wt + j₀), або x = Acos(wt + j₀),   де А, w, і j₀ - постійні величини, причому А > 0, w > 0.

Величину яка стоїть під знаком sin або cos називається  фазою коливань j = wt + j₀. Фаза коливань визначає при заданій амплітуді стан коливальної системи в довільний момент часу.

А - амплітуда – максимальне відхилення від положення рівноваги. Якщо коливання незагасальні, то амплітуда не змінюється.

Оскільки механічні коливання відбуваються під дією сил, то при цьому відбувається періодична зміна величини і напряму швидкості та прискорення тіла, що здійснює коливальний рух. Швидкість дорівнює першій похідній від зміщення х:

,

, або 

де  _max = wA.

Прискорення дорівнює першій похідній від швидкості або другій похідній від зміщення

або

              де a_max = – w²A.

Порівнюючи вирази (5.1.1) та (5.1.2) дістанемо диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань

x" = – w²x

З рівняння (5.1.2) випливає, що під час гармонічних коливань прискорення прямо пропорційне зміщенню a_x = – w²x. А згідно з другим законом Ньютона F_x = ma_x = –  mw²x. Отже, гармонічні коливання відбуваються під дією сили, напрямленої до положення рівноваги і прямо пропорційної зміщенню від цього положення. Цю силу називаютьвертальною.

2. Потенціальна та кінетична енергія.

Кінетичною енергією називають енергію обумовлену рухом тіла. Потенціальною енергією називають енергію обумовлену взаємодією між тілами. Сума кінетичної і потенціальної енергій називають повною механічною енергією тіла.

Енергія - це скалярна фізична характеристика всіх форм руху матерії і варіантів їх взаємодій.

Зміна енергії тіла (системи) DE дорівнює роботі A , яку виконала система, або роботі, яку виконали над системою:

DE = A      A = E₂ -  E₁.

Нехай на вільне нерухоме тіло почала діяти постійна сила , тоді виконана нею робота

Вираз (2.3.8) називають кінетичною енергією:

Кінетична енергія притаманна рухомим тілам. Зупиняючись, вони виконують механічну роботу.

У різних системах відліку швидкості одного й того самого тіла в довільний момент часу можуть бути різними. Отже, кінетична енергія - величина відносна; вона залежить від вибору системи відліку.

Якщо на тіло під час руху діє сила (або одночасно декілька сил), кінетична енергія тіла змінюється - тіло прискорюється або зупиняється. При цьому робота сили або рівнодійної сил, прикладених до тіла, дорівнює зміні кінетичної енергії:

Це твердження і формулу (2.3.9), що його виражає, називають теоремою про кінетичну енергію.

Потенціальна енергія залежить від взаємного розташування тіл або частин одного й того самого тіла. Під час падіння тіла масою m з висоти h сила тяжіння виконує роботу

A = mgh.

Оскільки робота і зміна енергії пов'язані рівнянням (2.3.9), можна записати формулу для потенціальної енергії тіла в полі сили тяжіння:

E_п = mgh.

На відміну від кінетичної енергії E_к потенційна енергія E_п може мати і від'ємне значення, коли h < 0 (наприклад тіло, що лежить на дні колодязя).

Під час гармонічного коливального руху кінетична енергія коливальної системи і потенціальна енергія взаємодії невпинно змінюються.

Повна енергія коливального руху:

; ,

поскільки .

Кінетична енергія змінюється за гармонічним законом, але з подвоєнною частотою.

кількісно дорівнює роботі квазіпружньої сили ;

;

; .

Потенціальна енергія змінюється як і кінетична енергія, з частотою і в тиж же межах від 0 до , але зі зсувом фаз відносно кінетичної енергії на .

3.Представлення коливань у вигляді вектора.

Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди

З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами (початкова фаза першого коливання) і (початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуд і (Рис.1).

При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю , проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.

,

.

4. Вільні коливання.

Вільні коливання виникають під дією внутрішніх сил. Умови виникнення вільних коливань

• хоча б одна з сил, що діє на тіло, має бути функцією координат;

• має бути рівноважне положення, при виведенні з якого ненульова рівнодійна всіх сил має бути направлена в бік положення рівноваги;

• сили тертя мають бути достатньо малими (?)

Характеристики коливань:

- період коливань, мінімальний відрізок часу, за який відбувається повторення.

- частота коливань, число коливань за 1 секунду.

- циклічна частота, число коливань за секунд.

Рівняння руху матиме вигляд

	пружинний маятник (сила пружності)
	математичний маятник (вся маса зосереджена в одній точці)

- диференційне рівняння вільних коливань, де частота та період

,	пружинний маятник
,	математичний маятник

- рівняння вільних гармонічних коливань,

де х – зміщення тіла від положення рівноваги, А – амплітуда коливань (модуль максимального відхилення від положення рівноваги), - циклічна частота, - фаза коливань (визначає значення величини, що змінюється з часом, в конкретний момент часу), - початкова фаза.

- миттєва швидкість. - максимальна швидкість.

- миттєве прискорення. - максимальне прискорення.