6.3.1. Нечеткие множества и отношения: основные свойства

Нечеткое подмножество A множества X – пара (X, _A), где _A: X  [0, 1] – функция, каждое значение которой _A  [0, 1] интерпретируется как степень принадлежности точки x  X множеству A.

Функция _A – функция принадлежности множества A.

Для обычного четкого множества B можно положить , т.е. классическое понятие множества является частным случаем введенного понятия.

Стандартные функции принадлежности

1. Функции принадлежности класса S.

.

.

Функция принадлежности, относящаяся к этому классу, имеет графическое представление, напоминающее букву «S», причем ее форма зависит от подбора параметров a, b, c. В точке функция принадлежности класса «S» равна 0.5.

2. Функции принадлежности класса π.

.

Функция принадлежности класса π принимает нулевые значения для x  c + b и x ≤ c – b. В точках ее значение равно 0.5.

3. Функции принадлежности класса γ.

.

4. Функции принадлежности класса t.

.

В некоторых приложениях функция принадлежности класса t может быть альтернативной по отношению к функции принадлежности класса π.

5. Функции принадлежности класса L.

.

6.3.2. Операции над нечеткими множествами и отношениями

Таблица 6.1

Операции над нечеткими множествами и отношениями

Операция	Лингвистический смысл	Формула для C(x)	График C(x)
Пересечение	И
Объединение	ИЛИ
Дополнение	НЕ
Концентрация	ОЧЕНЬ
Размывание	НЕ ОЧЕНЬ

Для нечетких множеств вводятся операции пересечения, объединения, дополнения, концентрации, размывания (см. табл. 4.1). Первые три – обобщения обычных операций, оставшиеся – специфичны для нечетких множеств.

Операции позволяют конструировать сложные понятия из простых («очень много», «не старый и не молодой» и т.п.).

По аналогии с четким случаем определяется отношение включения множеств: A  B, если и только если _A(x) ≤ _B(x) для всех x  X.

6.3.3. Формирование нечетких отношений с использованием экспертных знаний

Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности.

При использовании прямых методов эксперт просто задает для каждого x  X значение _A(x). Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются:

• для измеримых понятий (скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д.);

• когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности 0 или 1. Для конкретного объекта эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает _A(x)  [0, 1], формируя векторную функцию принадлежности {_A(x₁), _A(x₂), …, _A(x_n)}.

Разновидностью прямых методов построения функций принадлежности являются прямые групповые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из 2-х ответов: принадлежит или нет этот объект к заданному множеству. Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет измеримых элементарных свойств, через которые определяется нечеткое множество. Как правило, эти методы попарных сравнений.

Если бы значения функций принадлежности были известны, например, _A(x_i) = w_i (i = 1..n), то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w_i/w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно главной диагонали, a_ij = 1/a_ji, т.е. если один элемент оценивается в a раз значимее, чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз значимее, чем первый.

В общем случае задача сводится к поиску вектора W, удовлетворяющего уравнению AW = _maxW.

_max – наибольшее собственное значение матрицы A.

Так как матрица A положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Для задания функций принадлежности используют типовые формы кривых (в форме LR-типа) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента. В качестве значений принадлежности используют относительные частоты по данным эксперимента.