Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a×b на вектор с. abc=(a×b)c

Геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема. Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если же векторы a, b и c компланарны, то abc=0. V=±abc

Доказательство.

Исключим тривиальный случай, когда векторы a и b коллинеарны. В этом случае векторы a, b и c – компланарны и их смешанное произведение равно нулю, т.к. векторное произведение a×b двух коллинеарных векторов равно нулю.

Пусть векторы a и b не коллинеарны. Обозначим через S - площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, а через е – орт векторного произведения a×b.

Учитывая формулы: a×b=Sе и , получим:

аbc=(Sе)с=S(ес)=Sепр_ес=Sпр_ес (12)

Предположим, что векторы a, b и c не компланарны. Тогда пр_ес с точностью до знака равна высоте h параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, в основании которого лежит параллелограмм, построенный на векторах a и b.

(a×b)c=|a×b|·|c|cos φ=S·|c|cos φ=S·пр_dc

Согласно геометрическому свойству векторного произведения |a×b|=S_, где S –площадь основания, получаем:

S·|c|cos φ

Т.о. правая часть (12) с точностью до знака равна объему V построенному на векторах a, b и c параллелепипеда.

Очевидно, что пр_ес=+h, если векторы е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, и пр_ес= -h, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной плоскости.

Но это означает, что пр_ес=+h, если тройки аbc и аbе одной ориентации, и пр_ес=-h, если эти тройки противоположной ориентации.

Т.к. по определению векторного произведения тройка аbе является правой, то

пр_ес=

Если векторы a, b и c компланарны, то вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами a и b, откуда следует, что пр_ес=0 и, следовательно из (12), что abc=0. ч.т.д.

Следствие 1.

Объем соответствующего тетраэдра(правильной пирамиды) равен:

V=±1/6 abc=1/6|abc|

Свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение не меняется при циклических перестановках векторов:

(a×b)c=(b×c)a=(c×a)b.

2. Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух сомножителей:

(a×b)c=-(ac)b=-(ba)c=-(cb)a

Доказательство. Все произведения по абсолютной величине дают объем одного и того же параллелепипеда, а знак произведений определяется ориентацией тройки сомножителей. При циклической перестановке векторов в тройке ориентация не меняется, при перестановке местами двух векторов в тройке ориентация меняется на противоположную ч.т.д.

Доказанное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде abc.

3) Три вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Необходимость следует из теоремы. Достаточность – тоже из теоремы, т.к. смешанное произведение некомпланарных векторов равно отличному от нуля объему параллелепипеда.

4) Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Т.к. такие векторы компланарны.