Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

Теорема 3. Если два вектора определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}, то их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ (5)

Доказательство. Т.к. базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, то: .

=1²сos 0˚=1,

Учитывая, что а=x₁i+y₁j+z₁k, b= x₂i+y₂j+z₂k, получим

a·b=(x₁i+y₁j+z₁k)(x₂i+y₂j+z₂k)=x₁x₂+0+0+y₁y₂+0+0+z₁z₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. ч.т.д.

При a=b получаем a·а=|а|²=.

Следствие 1. Векторы а={x₁,y₁,z₁} и b={x₂,y₂,z₂} являются ортогональными тогда и только тогда, когда x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0.

Пример. Проверить, являются ли ортогональными векторы а=(0;6;-3) и b=(2;4;8). A·b=0·2+6·4+(-3)·8=0

Следствие 2.

Угол между двумя векторами: cos φ=. (6)

Пример. Найти угол между векторами а=(1;2;-3) и b=(2;4;0)

cos φ=, φ=arccos 1/28

Векторное произведение векторов. Правые и левые тройки векторов и системы координат.

Определение 1. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов abc называется правой, если направление вектора а совмещается с направлением вектора b при помощи кратчайшего поворота вектора а в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.

Всего из векторов а,b и c можно составить 3 правые: abc, bca, cab; и 3 левые

bac, acb, cba – тройки векторов.

Определение 2. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку векторов.

Определение 3. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, удовлетворяющий условиям:

1. |с|=|а||b|sin φ, где φ – угол между векторами а и b; (7)

2. вектор с ортогонален векторам а и b;

3. векторы а, b и с образуют правую тройку векторов.

с=[a,b]=a×b

Механический смысл. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор идет из некоторой точки О в точку М, то вектор с=[a,b] представляет собой момент силы относительно точки О.

Геометрические свойства векторного произведения.

Теорема 4. Два вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Следует из определения векторного произведения, т.к. если векторы а и b коллинеарные, то угол между ними равен 0, а sin 0=0.

Достаточность. Пусть a×b=0. покажем, что векторы а и b коллинеарные. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов или равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0из равенства a×b=0 и (7) следует, что sin =0, т.е. векторы и коллинеарны. Ч.т.д.

Теорема 5. Длина (модуль) векторного произведения a×b равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Следует из (7), т.к. площадь параллелограмма равна S=|а||b|sin(a^b)=|a×b|. Ч.т.д.

Площадь соответствующего треугольника: S_Δ=1/2|a×b|.

Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с называется единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с ним направление.

Следствие. Если е – орт векторного произведения a×b, а S – площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения a×b справедлива формула: a×b=Sе (8).

Замечание. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что тройка abe является правой (т.к. тройка aba×b является правой).

Теорема 6. Если с – некоторый вектор,  - любая содержащая его плоскость, е – единичный вектор, лежащий в плоскости  и ортогональный к с, g – единичный вектор, ортогональный к плоскости  и направленный так, что тройка есg является правой, то для любого лежащего в плоскости  вектора а справедлива формула

a×с=пр_еас g (9)

Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление.

S=|a×с| - площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (9), равна пр_еас, т.е. тоже равна S, т.к. если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его h будет равна пр_еа.

Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (9), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны плоскости  (вектор a×с в силу определения векторного произведения, а вектор пр_еас g в силу того, что вектор g по условию ортогонален к плоскости ).

Проверим, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9) имеют одинаковое направление. Векторы a×с и g одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка aсg является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону (по разные стороны) от с и проекция пр_еа является положительной (отрицательной), но это и означает, что векторы a×с и пр_еас g всегда одинаково направлены. Ч.т.д.