Направляющие косинусы.

Обозначим буквами , ,  углы наклона вектора к осям Ox, Oy и Oz соответственно.

Числа cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . С учетом формулы и предыдущей теоремы, получаем формулы для координат вектора :

Х= cosα, Y= cosβ, Z= cosγ (3)

Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА=Х, ОВ=Y, OC=Z, получим выражение для длины вектора :

(4)

Из (3) и (4) получаем:

; ; (5)

Возводя в квадрат и складывая равенства (5), получаем:

cos²α+cos²β+cos²γ=1.

Т.к. вектор однозначно определяется заданием координат, то из (3) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.

Действия над векторами.

={а_х,а_у,а_z}={x,y,z}

Пусть ={х₁,у₁,z₁}, ={х₂,у₂,z₂},

1. = когда равны их соотв. координаты: х₁=х₂; y₁=y₂; z₁=z₂.

2) Сумма (разность) векторов - вектор. Пусть , тогда

={х₁+х₂,у₁+у₂,z₁+z₂}, ={х₁-х₂,у₁-у₂,z₁-z₂}.

3) Умножение вектора на число- вектор: ={λх₁,λу₁,λz₁}.

Примеры. а={2; -3;0}, b={1;3;-2}. a+2b={4;3;-4}.

.

Скалярное произведение векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(1)

Рассмотрим проекцию вектора на ось, определяемую вектором .

Тогда, (2)

Из (1) и (2) следует: (3)

Аналогичным образом получаем: (4)

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Определения 1 и 2 эквивалентны.

Механический смысл. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа w определяется равенством:

w=, т.е. равна скалярному произведению векторов и .

Геометрические свойства скалярного произведения.

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой, то такие векторы называются ортогональными.

Теорема 1. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны,  - угол между ними. Тогда cos =0=0.

Достаточность. Пусть =0. Докажем, что векторы и ортогональны. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов или равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0из равенства =0 и (1) следует, что cos =0, т.е. векторы и ортогональны. Ч.т.д.

Теорема 2. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Доказательство. Т.к. векторы и ненулевые, то знак скалярного произведения совпадает со знаком cos . Если угол  не превосходит , то cos  положителен тогда и только тогда, когда  - острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда  - тупой угол. Ч.т.д.

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1. аb=ba – свойство коммутативности.

2. = - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство.

3. = - сочетательное относительно скалярного множителя свойство.

4) аа>0 если а ненулевой вектор, аа=0, если а – нулевой вектор.

Доказательства.

1) – следует из определения 1.

2) – Воспользуемся формулой и линейным свойством проекции вектора на ось. ===+=.

3) Аналогично св-ву 2): ===.

4. - скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. св-во 4.