11

Понятие базиса.

Определение. Три линейно независимых вектора , и образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и , т.е. если для вектора найдутся такие вещественные числа , , , что справедливо равенство: =++ (1)

Определение. Два лежащих в плоскости  линейно независимых вектора и образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости  вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. если для любого лежащего в плоскости  вектора найдутся такие вещественные числа  и , что справедливо равенство : =+ (2)

Утверждения.

1) любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.

Пусть , и - произвольный базис в пространстве (т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов). Тогда равенство =++ называется разложением вектора по базису , , , а числа , ,  - координаты вектора относительно базиса , , .

Покажем единственность разложения вектора по базису , , . Допустим противное, что наряду с разложением (1), справедливо еще и другое разложение по этому же базису: =++ (3)

Вычитая из (1) из (3) получаем:

(-)+(-)+(-)=0

В силу линейной независимости базисных векторов , , последнее соотношение приводит к равенству: -=0, -=0, -=0 или =, =, =.

Теорема. При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются. При умножении вектора на любое число  все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть =₁+₁+₁, =₂+₂+₂. Тогда в силу свойств линейных операций:

+=(₁+₂)+(₁+₂)+(₁+₂),

=(₁)+(₁)+(₁)

В силу единственности разложения по базису ч.т.д.

Проекция вектора на ось.

(Ортогональная) проекция точки на ось – основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную ось. (рисунок)

П

l

роекцией вектора на ось u называется величина (длина) вектора , проведенного из проекции начала в проекцию конца вектора , взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси u и со знаком “-” в противном случае.

Свойства проекции вектора на ось.

1. Проекция суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) проекций векторов на ось

пр_u()=

2. Постоянный множитель можно выносить за знак проекции:

Угол наклона вектора = к оси u определяется как угол  между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора =, а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. (Рисунок)

На величину угла наклона вектора к оси u не влияют выбор точки М выхода указанных лучей и замена оси u любой другой осью v, имеющей то же направление, что и ось u.

Теорема. Проекция вектора на ось u равна произведению длины на косинус угла φ наклона вектора к оси u: .

Доказательство. Обозначим через v ось, проходящую через начало А вектора и имеющую то же направлении, что ось u, и пусть С – проекция В на ось v. Тогда ВАС=, где  - угол наклона вектора = к любой из осей u или v, причем точка С лежит в указанной проецирующей плоскости (т.е. в плоскости, перпендикулярной оси u и проходящей через точку В). (Рисунок)

А₁В₁=АС (А₁В₁–величина вектора оси u, а АС–величина вектора оси v), т.к. оси u и v параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей заключенные между параллельными плоскостями  и , равны. Т.к. по определению , то получаем равенство: =АС (1)

Но величина АС представляет собой проекцию вектора на ось v и

АС== (2)

Сопоставляя 91) и (20, получим ч.т.д.

Аффинные координаты (от лат. affinis – соседний, смежный).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точкой О, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора (относительно базиса , , ). Т.к. каждый вектор может быть единственным образом разложен по базису , , , то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат , , .

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат, отвечающей тройке взаимно ортогональных единичных базисных векторов.

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Базисные векторы принято обозначать - три взаимно ортогональных единичных вектора.

Любой вектор () можно единственным образом разложить по декартовому базису с коэффициентами а_х, a_y, a_z (X,Y,Z):

.

Коэффициенты а_х, a_y, a_z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора в базисе .

Если М – любая точка пространства, то декартовы координаты этой точки совпадают с декартовыми координатами вектора .

Координатами вектора называют координаты его конечной точки. (на рис. коорд. вектора = на плоскости ={х,у}, в пространстве - ={x,y,z}).

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz.

(Доказательство на стр. 61)