12.3. Методы Рунге – Кутты решения задачи Коши для оду первого порядка

Данные методы явного и неявного численного решения дифференциальных уравнений первого порядка были разработаны немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой в начале ХХ века. Методы Рунге — Кутты являются обобщением метода Эйлера, в котором для аппроксимации интеграла от функции f(x,y) применяются более точные численные методы.

Общая схема явных методов Рунге–Кутты заданного порядка заключается в получении приближений к значениям y(x_i+1) по формуле вида:

у_i+1 = у_i + h (х_i,y_i,h), (12.10 a)

где аппроксимирующая функция (х_i,y_i,h), является суммой q слагаемых:

, (12.10 б)

в которой:

…………………………………………….

. (12.10 в)

В (12.10 в) величины _n, _nj, с_n, (0<j<nq) – некоторые фиксированные числовые коэффициенты – параметры аппроксимирующей функции (х_i,y_i,h). При построении методов Рунге–Кутты параметры функции (х_i,y_i,h) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

12.3.1. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка (метод Хойна)

Точность явной формулы Эйлера можно существенно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла в правой части (12.6) более точной формулой интегрирования - формулой трапеций:

у_i+1 = у_i + h[f(х_i, y_i)+ f(х_i+1, y_i+1)]/2, i = 0,1,...,n-1. (12.11)

Получаемая формула (12.11) является неявной относительно у_i+1 - эта величина содержится и в левой и в правой частях формулы. Данное уравнение относительно у_i+1 можно решать численно каким-либо известным итерационным методом, например, простой итерации. Однако, можно обойтись одной итерацией, на которой приближенное значение функции у_(i+1)п определяется в узле х_i+1 с помощью обычной формулы Эйлера, а затем подставляется в формулу (12.11):

у_(i+1)п = у_i + h f(х_i, y_i),

у_i+1 = у_i + 0,5h [f(х_i,y_i) + f(х_i+1,у_(i+1)п)]. (12.12) Данный метод Рунге-Кутта 2-го порядка называют методом Хойна или модифицированным методом Эйлера. Также встречается название метод Гюна. Он является усовершенствованием метода Эйлера, при котором за счет более точной аппроксимации интеграла в правой части уравнения (12.6), погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования. Как будет показано ниже, метод Хойна является простейшим случаем применения более общего метода прогноза и коррекции.

12.3.2.Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка

Существуют стандартные схемы третьего порядка, которые не нашли широкого применения. Наибольшее распространение получила схема четвёртого порядка, которую зачастую и называют просто методом Рунге–Кутты.

Рассмотрим задачу Коши на отрезке [а, b] (12.2): у' = f(x,y), y(а) = y₀. На отрезке [а, b] введена равномерная сетка {a = x₀ < x₁ <...< b = x_n, x_i = a + ih} с постоянным шагом h = (a-b)/n. Допустим, после i шагов найдены значения искомой функции {у₁, у₂,... у_i } в узловых точках {х₁, х₂,... х_i }. Необходимо найти следующее значение искомой функции у_i+1 в узле х_i+1.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

у_i+1 = у_i + h (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6; (i = 0,1,… n),

где k₁ = f(x_i, y_i); k₂ = f(x_i + h/2, y_i+ hk₁/2);

k₃ = f(x_i + h/2, y_i+ hk₂/2); k₄ = f(x_i +h, y_i+hk₃). (12.13)

Геометрическим смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетной схемой (12.13) состоит в разбиении одного шага длины h по оси х (как в методе Эйлера) на два половинных и расчете при значениях x = x_i , x_i + h/2, x_i + h четырех значений функции f(x, y):

1) k₁ = f(x_i, y_i) - значение функции в начальной точке x = x_i,

2) k₂ = f(x_i + h/2, y_i+ hk₁/2) - результат перемещения из точки x_i на шаг h/2 по касательной с углом ₁, для которого tg₁= f(x_i,y_i);

3) k₃ = f(x_i + h/2, y_i+ hk₂/2) - уточненный расчет перемещения из точки x_i на шаг h/2 по касательной с углом ₂, для которого tg₂= f(x_i+h/2, y_i+k₁/2);

4) k₄ = f(x_i +h, y_i+hk₃) - результат перемещения из точки x_i на полный шаг h по касательной с углом ₃, для которого tg₃= f(x_i+h/2,y_i+k₂/2).

Полученные 4 значения усредняются в соответствии с первой формулой (12.13) с весовыми коэффициентами 1,2,2,1.

Метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном отрезке интегрирования имеет порядок O(h⁴). При этом ошибка на каждом шаге имеет порядок O(h⁵).

Пример. Решить методами: 1) явным Эйлера, 2) методом Хойна (модифицированный Эйлера), 3) Рунге – Кутты задачу Коши: у' = 2(x²+y), y(0) = 1 на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1:

Полученные значения функции сравнить с точным решением: у(x) = 1,5е^2х-х²-х-0,5.

Решение. Представим расчетные формулы по всем рассмотренным методам.

1. Явный метод Эйлера: у₀ = 1; у_i+1 = у_i + h 2(x_i²+y_i), (i = 0,1,…,10, x_i = ih).

2. Модифицированный метод Эйлера:

у₀=1; у_(i+1)п=у_i+h2(x_i²+y_i), у_i+1=у_i +0,5h [2(x_i²+y_i)+ 2(x_i+1²+у_(i+1)п)], (i = 0,1,…,10, x_i = ih).

3. Расчетные формулы метода Рунге – Кутты:

у₀=1; k₁ =2(x_i²+y_i), k₂=2((x_i+h/2)²+y_i+hk₁/2), k₃=2((x_i+h/2)²+y_i+hk₂/2),

k₄ =2((x_i+h)²+y_i+hk₃), (i = 0,1,…,10, x_i = ih).

Результаты расчета даны в Таблице 12.2.

Самым точным является решение, полученное по методу Рунге – Кутты.

Метод часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima). В основном используется метод четвертого порядка. Для повышения точности расчётов также применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка связано со значительным усложнением расчетной схемы.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую схему обобщают методы Рунге — Кутты ?

2. В чем заключается основная идея методов Рунге — Кутты ?

3. Как выводится расчетная схема метода Рунге — Кутты 2 порядка (метода Хойна) и какова его точность ?

4. Какая расчетная схема метода Рунге — Кутты получила наибольшее распространение ?

Таблица 12.2. y₁, y₂, y₃ – расчеты по методам Эйлера, Хойна, Рунге Кутта, y_т – точное решение, y₁, y₂, y₃ – абсолютные погрешности методов Эйлера, Хойна, Рунге Кутта.

хi		y1		y2		y3		yт		y1		y2		y3
0	1.0000		1.0000		1.0000		1.0000		0.0000		0.0000		0.0000
0.1	1.2000		1.2210		1.2221		1.2221		0.0221		0.0011		0.0000
0.2	1.4420		1.4923		1.4977		1.4977		0.0557		0.0054		0.0000
0.3	1.7384		1.8284		1.8432		1.8432		0.1048		0.0148		0.0000
0.4	2.1041		2.2466		2.2783		2.2783		0.1742		0.0317		0.0000
0.5	2.5569		2.7680		2.8274		2.8274		0.2705		0.0594		0.0000
0.6	3.1183		3.4176		3.5201		3.5202		0.4019		0.1026		0.0001
0.7	3.8139		4.2257		4.3927		4.3928		0.5789		0.1671		0.0001
0.8	4.6747		5.2288		5.4894		5.4895		0.8148		0.2607		0.0001
0.9	5.7377		6.4704		6.8643		6.8645		1.1268		0.3941		0.0002
1	7.0472		8.0032		8.5834		8.5836		1.5364		0.5804		0.0002

Практическое задание.

Решить аналитически и численными методами: 1) явным Эйлера, 2) методом Хойна, 3) Рунге–Кутты задачу Коши: у'=x², y(0) = 1 на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1.