4.8. Построение математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава по результатам планированного эксперимента.

Планирование экспериментов и построение математических мо­делей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от его сос­тава рекомендуется производить для корректировки состава бетона в процессе его приготовления, при организации производства из­делий по новой технологии, а также в случае использования автоматических систем управления технологическим процессом.

Построение математических моделей экспериментальных зависимостей свойств бетона, от его состава включает в себя следующие этапы:

1. уточнение в зависимости от конкретной задачи оптимизируемых параметров (прочности бетона, удобоукладываемости бетонной смеси и др.);

2. выбор факторов, определяющих изменчивость оптимизируемых параметров;

3. определение основного исходного состава бетонной смеси;

4. выбор интервалов варьирования факторов;

5. выбор интервалов варьирования факторов;

6. выбор плана и условий проведения экспериментов;

7. расчет всех составов бетонной смеси в соответствии с выбран­ным планом и реализация эксперимента;

8. обработка результатов эксперимента с построением математичес­ких моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от выбранных факторов.

В качестве факторов, определяющих состав бетонной смеси, в зависимости от конкретной задачи могут назначаться В/Ц (Ц/В) смеси, расход воды (или цемента), расход заполнителей или соотношение между ними r, расходы добавок и т.п.

Рекомендуемые факторы и интервалы их варьирования приведены в таблице 3. Указанные факторы однозначно характеризуют состав бетонной смеси (без добавок).

Таблица 3. Рекомендуемые факторы и интервалы их варьирования

Факторы	Интервалы варьирования
В/Ц смеси	0,1 - 0,15
Расход цемента Ц, кг	15-20% величины основного уровня
Соотношение между мелким и крупным заполнителями r	0,05 - 0,1

Основной исходный состав определяется в соответствии с указа­ниями п.п. 4.1 – 4.7. Значения факторов в основном исходном составе называются основными (средними или нулевыми уровнями). Уровни варьирования факторов в эксперименте зависят от вида его планирования. Для упрощения записей и последующих расчетов. Уровни факторов используются в кодированном виде, где «+1» обозначает верхний уровень, «0» – средний, а «-1» – нижний уровень. Промежуточные уровни факторов в кодированном виде рассчитываются по формуле

,

где х_i – значение i-го фактора в кодированном виде; Х_i – значение i-го фактора в натуральном виде; Х_0i – ос­новной уровень i-го фактора; Х_I – интервал варьирования i-го фактора.

Для построения математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от его состава рекомендуется применять трехфакторный планированный эксперимент типа В-D₁₃, который позволяет получать нелинейные квадратичные модели и обла­дает хорошими статистическими характеристиками.

План этого эксперимента приведен в таблице 4.

Таблица 4. Планированный эксперимент типа В-D₁₃

№ опыта	Матрица планирования			Натуральные значения переменных			Свойства бетона (выход)
	x1	x2	х3
				В/Ц	Ц	r	Yu1	Yu2…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	-1 +1 -1 -1 -1 0,19 0,19 -0,29 +1 +1	-1 -1 +1 -1 0,19 -1 0,19 +1 -0,29 +1	-1 -1 -1 +1 0,19 0,19 -1 +1 +1 -0,29

Кроме того, для определения воспроизводимости измерений выходных параметров необходимо продублировать опыты (выполнить опытные замесы) не менее трех раз в нулевой точке (все факторы на основном уровне), равномерно распределяя их между остальными замесами.

В соответствии с выбранным планом эксперимента рассчитывают₅ натуральные значения переменных факторов и составы бетонной смеси в каждом опыте.

Натуральные значения переменных рассчитывают по формуле

и записывают в таблицу 4.

Составы бетонной смеси в каждом опыте рассчитывают по форму­лам:

;

;

;

,

где – абсолютный объем заполнителей в 1 м³ бетона, л.

По результатам планированного эксперимента типа В-D₁₃ получают математические модели зависимостей вида

(34)

Коэффициенты моделей вычисляют с помощью L – матриц по формуле

,

где – соответствующий элемент L – матрицы.

L – матрица для планированного эксперимента типа В-D₁₃ приведена в таблице 5.

Таблица 5. L – матрица для плана В-D₁₃

№ опыта	b0	b1	b2	b3	b11	b12	b13	b22	b23	b33
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	-0,039 -0,195 -0,195 -0,195 0,499 0,499 0,499 0,042 0,042 0,042	-0,09 0,101 -0,091 -0,091 -0,212 0,029 0,029 -0,061 0,192 0,192	-0,09 -0,091 -0,101 -0,091 0,029 -0,212 0,029 0,192 -0,061 0,192	-0,09 -0,091 -0,091 0,101 0,029 0,029 -0,212 0,192 0,192 -0,061	0,051 0,244 0,08 0,08 0,262 -0,419 -0,419 -0,21 0,165 0,165	0,205 -0,199 -0,199 0,108 -0,106 -0,106 0,135 -0,031 0,223 -0,031	0,205 -0,199 0,108 -0,199 -0,106 0,135 -0,106 -0,031 0,223 -0,031	0,051 0,08 0,244 0,08 -0,419 0,262 -0,419 0,165 -0,21 0,165	0,205 0,108 -0,199 -0,199 0,135 -0,106 -0,106 0,223 -0,031 -0,031	0,051 0,08 0,08 0,244 -0,419 -0,419 0,262 0,165 0,165 -0,21

После получения математических моделей производят проверки значимости (отличия от нуля) коэффициентов модели и ее адекватности.

Проверку коэффициентов на значимость производят с помощью Стьюдента (t -критерия), который рассчитывают по формуле

,

где – средняя квадратическая ошибка в определении коэффициентов,

,

где – дисперсия воспроизводимости в параллельных опытах; С_i – величины, приведенные для плана В-D₁₃ в таблице 6.

Таблица 6. Величины С_i для плана В-D₁₃

b0	b1	b2	b3	b11	b12	b13	b22	b23	b33
0,868	0,159	0,159	0,159	0,594	0,226	0,226	0,594	0,226	0,594

Расчетное значение t – критерия сравнивают с табличным t_табл. для выбранного уровня значимости (обычно ) и данного числа степеней свободы ( – число опытов в нулевой точке).

Если t < t_табл., то данный коэффициент считается незначи­мым, однако отбрасывать соответствующий член уравнения нельзя так как в уравнении (34) все коэффициенты закоррелированы между собой и отбрасывание какого-либо члена требует пересчет модели. Для проверки адекватности модели вычисляют дисперсию адек­ватности по формуле

где – значение исследуемого свойства бетона в u-том опыте; - значение исследуемого свойства бетона в u-том опыте вычисленное по уравнению (34); m – число значимых коэффици­ентов, включая b₀ .

Определяют расчетное значение критерия Фишера (F – критерия) по формуле

которое сравнивают с табличным F_табл. для числа степеней сво­боды: и и выбранного уровня значи­мости (обычно .

Уравнение считается адекватным, если F<F_табл.. В слу­чае положительного результата проверки модели на адекватность ее можно использовать для решения различных задач.