Методичні вказівки до контрольної роботи

До задачі 1

Структура мережі, її топологія – це сукупність пунктів (вузлів, станцій то що) і сполучних ліній поміж ними(каналів).

Для математичного опису структури мережі зручно користуватися математичною моделлю. Як моделі мережі святи використовується граф

G = [A, B], де А ={a_i} - сукупність вершин графа (пунктів (вузлів) мережі),

В ={b_ij} – сукупність ребер графа (ліній зв’язку).

Відповідно до того, що канали мережі можуть бути однобічного і двосторонніми, ребра графа можуть бути орієнтованими й неорієнтованими. Граф, усі ребра якого орієнтовані, називається орієнтованим, якщо всі ребра неорієнтовані, то граф називається неорієнтованим. Якщо є як орієнтовані, так і неорієнтовані ребра, то граф називається змішаним.

Для спрощення запису структури мережі ребра позначаються символами а, b, c, ...

b

a g f c

h

e d

Рисунок. 5- Граф мережі.

На рис. 5 зображено змішаний граф, ребра якого g та h є орієнтованими, а ребра а, b, c, d, e, f – неорієнтованими.

Для запису структури графа використовується структурна матриця В, яка має розмір n x n – за кількістю вершин графа. Елемент структурної матриці В визначається в такий спосіб.

де х – позначення ребра на графі.

Для графа, поданого на рис. 5, структурна матриця В має вигляд :

Для різних кількісних оцінок кожному ребру графа може бути приписано певну вагу - число, котре характеризує певну властивість даного ребра, наприклад довжину, пропускну здатність, вартість то що. Відповідні характеристики ребер графа подаються матрицями довжин, пропускних здатностей то що.

Для побудови матриці довжин L користуються таким правилом:

Якщо в мережі є можливість передавання інформації з вузла і до вузла j (прямими каналами або через проміжні вузли), то говорять, що існує зв'язок від i до j. Для здійснення зв'язку повинен існувати відповідний шлях або шляхи.

Шлях з i до j – це упорядкований набір ребер, в якому кінець кожного попереднього ребра збігається з початком наступного. Наприклад:

Даний шлях включає чотири ребра і проходить через вершини:

i , k , l , p , j . Ранг шляху – кількість ребер, котрі входять до даного шляху.

Для розглянутого прикладу ранг шляху - = 4.

Довжина розглянутого шляху – це сума довжин ребер, які його складають.

Визначення множини шляхів поміж заданою парою вершин графа розкладанням бульових визначників.

Для заданого графа будується структурна матриця В.

Розглядатимемо граф, наведений на рис. 6 і його структурну матрицю В.

Для винайдення множини шляхів з вершини i у вершини j графа зі структурної матриці В викреслюється і-й стовпець та j-й рядок і далі здійснюється розкладання бульового визначника здобутої матриці за кожним з рядків, що залишилися, або стовпців.

Тут розкладання проведено за рядком з номером k.

А_kn – визначник, здобутий з визначника матриці В після викреслювання k-го рядка та n-го стовпця.

При перетворюванні матриці та визначників слід використовувати основні правила і закони бульової алгебри:

1) 1 + a = 1; 1 ∙ a = a

2) 0 + a = a; 0 ∙ a = 0

3) a + = 1; a ∙ = 0

4) a + а = a; a ∙ а= a – закон повторення;

5) a +ab = a – закон поглинання;

6) (а + х) (а + y) = a + xy – розподільний закон.

При розкладанні булльових визначників слід також користуватися такими правилами:

1. визначник, котрий має одиниці в якомусь рядку чи стовпці, тотожно дорівнює одиниці;

2. якщо якийсь рядок чи стовпець складається з нулів, то визначник тотожно дорівнює нулеві;

3. якщо перед визначником записано множник а , то всі елементи а у визначнику можна замінити на 1 , а всі елементи у визначнику можна замінити на 0;

4. якщо у визначнику поміняти місцями два рядки чи два стовпці або зробити його транспонування, то значення визначника не зміниться.

Наприклад, виконаємо розкладання визначника В14 за рядком 4:

Примітка. При записуванні множини шляхів символ “ + ” означає

логічне додавання.

До задачі 2

Оптимальним є шлях мінімальної довжини (рангу, вартості тощо) чи максимальної місткості (пропускної здатності тощо). При розв’язуванні задач пошуку оптимальних шляхів найчастіше виникає завдання визначення шляхів мінімальної довжини й рангу.

Методи пошуку найкоротших шляхів поділяються на мережні та матричні. Мережні методи ґрунтовано на присвоєнні спеціальних позначок (індексів) вершинам чи ребрам графа. Ці позначки дозволяють дістати як довжину (ранг) найкоротшого шляху, так і сам шлях у формі послідовності вершин чи ребер, які його складають. Мережні методи називаються також індексними.

Матричні методи ґрунтуються на перетворуванні топологічних матриць мережі.

Мережний метод

За допомогою мережного методу можна визначити найоптимальніші за довжиною (рангом, вартістю, місткістю, пропускною здатністю й іншими характеристиками) шляху з фіксованого вузла і до решти вузлів мережі (чи з усіх вузлів мережі до фіксованого вузла і).

Мережний метод базовано на наданні кожному вузлові q таких позначок:

L_q – довжина шляху з вузла і до вузла q;

N_q – номер вузла, котрий є передкінцевим на шляху з вузла і до вузла q;

*q – службова позначка, формована в процесі пошуку найкоротших шляхів для збільшення швидкості збіжності алгоритму.

Сутність цього методу зводиться до виконання поданих нижче кроків (рис.6).

Крок 1 Надання вихідних позначок вузлам мережі (вершинам графа):

L_i = 0; N_i = 0; *_і = 0,

де ^*і – початковий вузол (вузол-джерело);

L_q = ; N_q = 0; *_q = 0,

де q – решта вузлів мережі, q i.

Крок 2 Вибір з-посеред вузлів j, в яких позначка *і = 0, вузла, який має L_j = min (при першому виборі це завжди вузол-джерело і).

Крок 3 Для всіх вузлів q, суміжних до обраного j, в яких *q = 0, перевіряється виконання нерівності

L_q > L_j + l_{j q},

де l_{j q} – довжина гілки зв'язку вузла j з перевірюваним вузлом q;

L_q, L_j – позначки вузлів q та j, що визначають довжину шляху з вузла і до вузлів q та j, відповідно.

Якщо нерівність виконується, то старі позначки вузла q – L_q та N_q замінюються на нові:

L_q = L_j + l_{j q};

N_q = j.

Якщо нерівність не виконується, то заміна позначок вузла q не виконується.

Крок 4 Присвоєння вузлові j позначки «переглянутий»: *j = 1.

Крок 5 Перевірка завершення роботи алгоритму за умовою: (n – 1) вузол набув позначку *n = 1 (n – кількість вузлів мережі). Якщо умова виконується, то алгоритм роботу завершує, інакше – здійснюється перехід до кроку 2.

На рис. 6 зображено граф, біля вершин якого записано позначки, сформовані в перебігу пошуку найкоротших шляхів з вершини і = 1 до решти вершин графа. Остання (нижня) позначка біля кожної вершини містить інформацію про найкоротший шлях до вершини 1 графа. Цифри коло ребер – це довжина ребер. Сформовані позначки надають можливість визначити довжину шляху і сам шлях у вигляді послідовності вершин графа (вузлів мережі), які його складають.

, 0, 0

50, 1, 0

45, 4, 0

45, 4, 1

40

, 0, 0

0, 0,1 1

25

10

20

60

50

100

, 0, 0

120, 4, 0

55, 2, 0

55, 2, 1

, 0, 0

85, 2, 0

85, 2, 1

, 0, 0

20, 1, 0

20, 1, 1

Рисунок 6 – Пошук найкоротших шляхів мережним методом

Приміром, шлях з другого вузла до першого вузла (чи з першого вузла до другого вузла) має довжину 45 (L₂ = 45), проходить через вузли

2 – 4 – 1; для третього вузла L₃ = 85, шлях проходить через вузли 3 – 2 – 4 – 1 тощо. Довжина шляху визначається позначкою L_q вузла, шлях – позначкою N_q.

Позначки N_q з вузла обираються доти, поки на певному вузлі не буде N_q = і, де і – номер вузла-джерела.

Наприклад, для визначення μ₃₁ (μ₁₃) проглядаються позначки вершини 3; L₃ = 85, N₃ = 2. Це означає, що довжина шляху L₃₁ = 85, шлях проходить через вузол 2. Далі відшукуємо N₂ = 4, тобто в шляху є вузол 4 і, врешті, N₄ = 1. Отже, шлях μ₃₁ проходить через вузли 3 – 2 – 4 – 1; оскільки всі ребра є неорієнтовані, то μ₃₁ = 1 – 4 – 2 – 3. Аналогічно визначимо: μ₅₁ =5 – 2 – 4 – 1.

Розглянутий алгоритм може використовуватися для пошуку найкоротшого шляху поміж двома заданими вузлами j та x. Роботу алгоритму при цьому завершено, коли в якості чергового обираного на кроці 2 алгоритму вузла j опиняється вузол х, тобто j = х.

Розглянутий алгоритм може бути використано для пошуку оптимальних шляхів за іншими критеріями. Приміром, при пошуку шляхів мінімальної вартості достатньо характеристикам галузей l_ij додати зміст вартості Ц_іj, тоді позначки L_q визначать вартість шляху Ц_q. При пошуку шляхів мінімального рангу досить усі значення характеристик галузей задати l_ij =1, тоді L_q визначить ранг шляху R_q.