Задачи на бак. экз. по ТЭС

3

Задачи по дисциплине «Теория связи» к бакалаврскому экзамену по направлению «Телекоммуникации»

Задача 1. На помехоустойчивость цифровой системы передачи.

Задано:

скорость цифрового сигнала R,  бит/с;

полоса пропускания канала связи F_к,  кГц;

метод модуляции – один из следующих: ФМ-2, ФМ-4, ОФМ-2 (когерентный прием), ЧМ-2 (некогерентный прием);

отношение средних мощностей сигнала и шума на входе демодулятора P_s/P_n, дБ.

Вычислить вероятность ошибки двоичного символа на выходе демодулятора, считая, что демодулятор оптимальный.

Решение:

Вероятность ошибки двоичного символа на выходе демодулятора:

сигналов ФМ-2 и ФМ-4 определяется по формуле ;

сигнала ОФМ-2 (когерентный прием) определяется по формуле ;

сигнала ЧМ-2 (некогерентный прием) определяется по формуле .

В этих формулах h_б – отношение сигнал/шум;

– гауссовская Q-функция.

По определению ; Е_б – энергия сигнала, затрачиваемая на передачу одного бита; N₀ – удельная мощность шума.

Для вычисления отношения сигнал/шум необходимо заданное в децибелах отношение средних мощностей сигнала и шума на входе демодулятора представить в разах

.

Затем определить ; и h_б = (если ФМ-2, ФМ-4 или ОФМ-2).

После этого вычисляется вероятность ошибки р.

Для вычисления значений гауссовской Q-функции используем аппроксимирующую функцию

.

Пример. Задано: R = 10 кбит/с; ФМ-2; F_к = 14 кГц; P_s/P_n = 8 дБ; p–?

Решение. P_s/P_n = 6,31; = 8,83; р = 1,310^–5.

Задача для самостоятельного решения. Задано: R = 1000 бит/с; F_к = 2,0 кГц; P_s/P_n = 6 дБ. Вычислить вероятность ошибки двоичного символа на выходе демодулятора, считая, что демодулятор оптимальный, для методов модуляции ФМ-2, ФМ-4, ОФМ-2 (когерентный прием), ЧМ-2 (некогерентный прием).

Ответ:

Задача 2. На корректирующие коды.

Задано: В цифровой системе передачи применен корректирующий код (n, k) с кодовым расстоянием d_min. Декодер используется в режиме выявления (или исправления) ошибок. Вычислить вероятность необнаруженной ошибки (или ошибочного декодирования), если вероятность ошибки двоичного символа на входе декодера р (канал связи между кодером и декодером без памяти).

Решение:

Вероятность необнаруженной ошибки определяется

, (1)

где q_о – кратность обнаруживаемых декодером ошибок, определяется кодовым расстоянием кода:

q_о = d_min – 1.

Вероятность ошибочного декодирования определяется

, (2)

где q_и – кратность исправляемых декодером ошибок, определяется кодовым расстоянием кода:

q_и = [(d_min – 1)/2],

где [x] – целая часть числа x.

В формулах (1) и (2) P(q) – вероятность ошибки кратности q на входе декодера.

Вероятность ошибки кратности q на входе декодера в случае канала связи без памяти определяется

, (3)

где – число сочетаний из n по q, определяется по формуле

.

В дальнейшем необходимо учесть следующие особенности расчетов.

1. Поскольку р << 1, то в формуле (3) целесообразно принять 1 – р = 1; тогда

, (3а)

2. Поскольку с увеличением q в формуле (3) на единицу значения p^q уменьшается в 1/р раз, можно считать, что Р(q + 1) << Р(q) и в формулах (1) и (2) достаточно использовать для расчетов лишь первое слагаемое. С учетом этого

; .

Пример. Задано: Код (31, 26); d_min = 3; р = 10^–3. Найти Р_н.о и Р_о.д.

Решение. q_о = 2;

q_и = 1;

Задача для самостоятельного решения. Задано: код (27, 21), т.е. n = 27, d_min = 4, р = 4 10^–3. Вычислить вероятность необнаруженной ошибки и вероятность ошибочного декодирования.

Ответ: .

Задача 3. На АЦП.

Задано: Аналоговый сигнал с максимальной частотой спектра F_max, кГц и коэффициентом амплитуды K_А передается методом ИКМ с равномерным квантованием. При аналого-цифровом преобразовании обеспечивается допустимое отношение сигнал/шум квантования не меньше _кв.доп, дБ. Определить скорость цифрового сигнала R на выходе АЦП.

Решение:

Скорость цифрового сигнала есть обратная величина к длительности двоичного символа Т_б

R = 1/ Т_б.

Величина Т_б определяется как

Т_б = Т_д / n,

где n – длина кода АЦП;

Т_д – интервал дискретизации, который определяется по теореме Котельникова:

Т_д  1/(2F_max).

Поскольку других требований к выбору интервала дискретизации в задаче нет, то примем, что

Т_д = 1/(2F_max).

Отношение сигнал/шум квантования, которое имеет место при аналого-цифровом преобразовании, определяется

,

где L – число уровней квантования в АЦП;

K_А – коэффициент амплитуды аналогового сигнала.

Задано допустимое отношение сигнал/шум квантования, которое дает возможность вычислить допустимое число уровней квантования

Для проведения этого вычисления необходимо заданное в децибелах отношение сигнал/шум квантования представить в разах

.

Выбираем число уровней квантования как целая степень числа 2, но не меньше L_доп.

Длина кода АЦП n = log₂L.

Итак, R = 2 n F_max.

Пример. Задано: F_max = 8 кГц, K_А = 5, _кв.доп = 42 дБ; R – ?

Решение. L_доп = 364; L = 512; n = 9; R = 144 кбит/с.

Задача для самостоятельного решения. Задано: F_max = 15 кГц, K_А = 4,5, _кв.доп = 38 дБ. Определить скорость цифрового сигнала R на выходе АЦП с равномерным квантованием.

Ответ: R = 240 кбит/с.

Май 2014 г.