Построение переходной характеристики объекта управления
Очевидно, что нагрев воздушной среды будет происходить неравномерно: во время прогрева помещения температура рядом с термопарой будет ниже, чем температура в районе установки батареи (это с учётом того, что термопара и батарея разнесены в пространстве на некоторое расстояние). Рост температуры воздуха будет происходить экспоненциально: чем выше температура, тем меньше скорость роста температуры. С учётом вышесказанного передаточная функция объекта управления выглядит следующим образом:
где α = 0,001 1/с — величина обратная постоянной времени среды, T — желаемая температура.
Рис.5. Скрипт построения переходной характеристики среды.
Рис.6. График переходной характеристики воздушной среды.
Как видно из графика на рисунке 6, система достигает установившегося значения через 6000 с, а минимальная температура заданного диапазона достигается за 2300 с.
Построение переходной характеристики всей системы
Для построения переходной характеристики всей системы следует учесть, что усилитель, исполняющее устройство и объект управления стоят последовательно, а термопара находится в цепи обратной связи. А также примем во внимание то, что у термопары единичная передаточная функция. Структурная схема всей системы представлена на рисунке 7.
Рис. 7. Структурная схема системы.
Передаточная функция всей системы выглядит следующим образом:
Рис.8. скрипт построения переходной характеристики всей системы.
Рис.9. График переходной характеристики всей системы.
Из графика рисунка 9 видно, что система достигает заданного значения за 5700 с, или 1,6 ч, что удовлетворяет заданным требованиям к качеству системы. Величина перерегулирования составляет 0,5оС, что также удовлетворяет заданным требованиям.
Оценка устойчивости системы
Для анализа устойчивости системы воспользуемся методом корневого годографа. Корневой годограф — это траектории корней характеристического уравнения системы на s-плоскости при изменении какого-либо параметра системы. Если все корни характеристического уравнения системы лежат в левой полуплоскости s-плоскости, то система является устойчивой. Корневой годограф разрабатываемой системы представлен на рис. 11.
Рис.10. Скрипт построения корневого годографа.
Рис.11. Корневой годограф системы.
Так как все корни характеристического уравнения системы лежат в левой полуплоскости, то наша система является устойчивой.
Проверим данный результат по диаграмме Найквиста (см. рис. 13). Критерий Найквиста следующий: замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда число охватов против часовой стрелки контуром точки (-1, j0) равно числу полюсов функции L(s), имеющих положительную действительную часть. Так как в нашем случае нет корней с положительной действительной частью, то чтобы наша система являлась устойчивой, на диаграмме Найквиста контур не должен охватывать точку (-1, j0).
Рис.12. Скрипт построения диаграммы Найквиста.
Рис.13. Диаграмма Найквиста разрабатываемой системы.
Как видно из рисунка 13, контур Найквиста на диаграмме Найквиста не охватывает точку (-1, j0), то есть наша система является устойчивой.
Запас системы по
устойчивости удобнее всего проверить,
построив диаграмму Бодэ. Запас
по модулю — величина, определяемая при
фазовом сдвиге –180˚ и показывающая во
сколько раз может быть увеличен
коэффициент усиления системы, прежде
чем она окажется на границе устойчивости,
т.е. диаграмма Найквиста пройдет через
точку –1 + j0.
Другим показателем относительной
устойчивости может служить запас по
фазе. Запас по фазе — величина, определяемая
на частоте, при которой
и показывающая, какой дополнительный
отрицательный фазовый сдвиг допустим
в системе, прежде чем она окажется на
границе устойчивости, т.е. диаграмма
Найквиста пройдет через точку
–1 + j0.
Рис.14. Скрипт построения диаграммы Бодэ.
Рис.15. Диаграмма Бодэ для проектируемой системы.
Из рисунка 15 видно, что запас устойчивости по модулю равен 31,7 дБ, то есть коэффициент усиления системы можно увеличивать в 38,5 раз, причём система будет оставаться устойчивой.