Его корни А\ — 2, к_г = Ъ являются собственными значениями мат­рицы А. Найдем собственные векторы, принадлежащие найден­ным собственным значениям. Собственный вектор, принадлежа-дай собственному значению Х\ = 2, является ненулевым решени­ем системы

й-2*>*-(:;*)(*)-о,

или

-х,+ 2х₂ = 0, -Х1 + 2х₂ = 0.

Тогда Х[ — 2, х₂=\ — ненулевое решение и, значит, — иско­мый собственный вектор. Аналогично находим

принадлежащий собственному значению Я₂ = 3. ф

Число различных собственных значений квадратной матрицы не превышает ее порядка.

Собственные векторы квадратной матрицы, принадлежащие ее различным собственным значениям, линейно независимы.

Ортогональная матрица может не иметь действительных со­бственных значений.

Симметрическая матрица всегда имеет действительное со­бственное значение.

Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежа­щие различным собственным значениям, ортогональны.

2.30. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрица А называется подобной матрице В, если найдется такая невырожденная матрица Г, что 5= Г^-1 АТ. Характеристи­ческие многочлены подобных матриц совпадают и, значит, подо­бные матрицы имеют одни и те же собственные значения.

Если матрица А подобна диагональной матрице В=Т~^Х АТ,

то говорят, что матрица Т приводит матрицу А к диагональному виду. Числа Я_ь Х₂, К, стоящие на главной диагонали матрицы В, являются собственными значениями матрицы А, а г-й столбец матрицы Т — собственным вектором матрицы А, принадлежа­щим собственному значению Я_;, /= 1, 2, л.

Квадратная матрица А порядка л тогда и только тогда приво­дится к диагональному виду, когда у матрицы А имеется « линей­но независимых собственных векторов. Матрица Г, столбцами которой служат координаты этих собственных векторов, приво­дит матрицу А к диагональному виду. Этот критерий, в частно­сти, выполняется, когда у матрицы порядка л имеется л различ­ных собственных значений.

Для каждой матрицы А можно построить такую матрицу В, у которой все собственные значения различны, а ее элементы отличаются по абсолютной величине от элементов матрицы А не более чем на е, где е — наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Правило построения матрицы Т, приводящей мат­рицу А порядка л к диагональному виду В.

Находят все собственные значения матрицы А.

Для каждого собственного значения Я, ищут фундаменталь­ную систему решений однородной системы линейных уравнений (А-ЪЕ) х = 0.

Строят матрицу Г, столбцами которой являются коор­динаты решений всех найденных фундаментальных систем.

Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

2. 2-Я -1 -1 \А-ХЕ\= -3 2-Я О 4 2 4-Я

\А-ХЕ[ =

2-Х -1 О

-3 2-Х Х-2 4 2 2-Х

2-Х -1 О -3 2-Х Х~2 1 4-Х О

= (2-Х)

2-Х -1 1 4-Х

= (2-А)(Я-3)²

Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (А — 2Е) х=0 и (А — ЪЕ) х=0. Фундаментальная систе­ма решений первой системы состоит из одного решения (0, —1, 1), а второй — из одного решения (1, —3, 2). Следовательно, матрица Т имеет вид

О I

Эта матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приводится к диагональному виду. #

Для каждой симметрической матрицы существует такая ор­тогональная матрица {>, что ()~¹А(> — диагональная матрица. Построение этой ортогональной матрицы осуществляется следу­ющим образом:

строят невырожденную матрицу Т, которая приводит мат­рицу А к диагональному виду;

подвергают столбцы найденной матрицы Т процессу ор-тогонализации, а затем нормируют полученные векторы;

строят ортогональную матрицу (), столбцами которой яв­ляются координаты полученной ортонормированной системы векторов.