Получен определитель матрицы третьего порядка, который мож­но вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычисле­нию определителя матрицы второго порядка. Имеем

Итак, (4=-1032. •

6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.

7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е.

\АЩ-\А\-\В\.

2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:

Ах=Ь, (2.22)

где А — квадратная матрица.

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера

*1 = 4м х₂=А₂/А, х_п = сЦй,

где определитель А_} получен из определителя а*=|Л] заменой _/-го столбца на столбец Ь свободных членов системы уравнений. О Пример. Решить систему уравнений Ах=Ъ, где

Определитель матрицы системы

1 -II

й=\А\-

и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем

4 =

Отсюда х_х =4/^=4, х₂ = А₂/А= 1. •

Если И^О, то матрица А обратима. Умножая обе часта уравнения (2.22) слева на матрицу А~¹, получаем

х = А~¹Ь. (2.23)

Формула (2.23) представляет собой матрично-векторную форму записи формул Крамера.

2.29. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Число Я называется собственным значением (или характери­стическим числом) квадратной матрицы А порядка л, если можно подобрать такой л-мерный ненулевой вектор х, что Ах = Хх.

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения \А — ХЕ\ = 0, где Я — неза­висимая переменная. Если раскрыть определитель \А — ХЕ\, то получится многочлен л-й степени относительно Я:

а_и-Х о₁₂

\А-Щ =

«21

Я22-Я

0л| а_н2

■ а_т Я

= а„Х^,+а_я--₁ Я" + ...+а,Л + Оо-

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты а„, а„_|, «о зависят от

элементов матрицы А. Отметим, что *„ = (-!), а₀=И|. Ура­внение \А~ХЕ\ — 0 называется характеристическим уравнением матрицы А.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором квад­ратной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению Я, если Ах — Хх.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принад­лежащих ее собственному значению Я, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений (А — ХЕ) х=0, записанной в векторно-матричной форме.

О Пример. Найти собственные значения и собственные век­торы матрицы

1. \А-ХЕ\ =

Запишем характеристическое уравнение матрицы 1-1 2 1 Л-к