2.19. Умножение матрицы на вектор

Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу — вектор-строкой.

Если А — матрица размера т х п, вектор-столбец х имеет размерность л, а вектор-строка у — размерность т, то определе­ны произведения Ах и уА, причем Ах — вектор-столбец размер­ности т, а у А — вектор-строка размерности т.

Таким образом, чтобы умножить матрицу на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении век­тора на матрицу его нужно рассматривать как вектор-строку.

О Пример. Даны матрица А и векторы х и у:

\ 3/

у = (2, 1, -3).

Свойства умножения матрицы на вектор (Я А — матрица, х_и х₂, х, у,, у_г, у — векторы)

Ах =

(-1, -5, -7, -13).

уА = (2, 1, -3)

число,

1°. А (х₁+х₂)='Ах₁+Ах_г. 2°. А(Хх)**Х (Ах). 3°. (у₁+Уг)А=у,А + у₂А.' 4°. (Ху) А=Х (уА). 5°. у(Ах) = (уА) х.

2.20. Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений + а_а*2 +... + агпХ_л = Ь_г,

<*т\Х1 +а„₂х₂ + и введем следующие обозначения:

_\

а₂\ 0₂2

А =

х=

_\

а_т\ а_т2

Матрицу А называют матрицей системы линейных уравнений; х — вектор-столбец неизвестных, а Ь — вектор-столбец свобод­ных членов.,

Так как столбцов у матрицы А ровно столько, сколько коор­динат у вектор-столбца х, то определено произведение

021*1 +022*2 + ■ + а_1яХ₁

X

а„| *1 + 3*2*2 +-+ ОпяХ,

Теперь систему линейных уравнений можно записать в виде одного векторного равенства Ах=Ь.

2.21. Обратная матрица

Квадратная матрица

_/

1 о о 1

_V

о о

называется единичной и обозначается через Е.

Квадратная матрица А называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу В, что АВ=ВА = Е.

Матрица В называется обратной для матрицы А.

Матрица называется невырожденной, если ее столбцы линейно независимы.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу, которую обозначают через А~¹.

Квадратная матрица А порядка п обратима тогда и только тогда, когда каждая из п систем линейных уравнений АХ=Е¹,

АХ=Е², АХ=Ё' имеет единственное решение, где Е¹, Е^г, ....

_/хл

— вектор-стол-

I х₂

Ё* — столбцы единичной матрицы, а X—

бец, координатами которого являются неизвестные х,, х%, х„.

Если матрица А обратима, то единственное решение системы уравнений АХ—Ё, \— 1, 2, п, совпадает с /-м столбцом матри­цы А

Для определения элементов матрицы А ~¹ необходимо ре­шить л систем линейных уравнений с п неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.

О Пример. Найти обратную матрицу А~¹, если

Л

А =

1. о

2. 3

*■	*2				*1	*2	*3
1 0 0	0 0 1	"Л 1	1 -5 1	0 1 0	0 1 -3 0 1 0	0 0 1	0 1 0	-4 6	1 1 -1	-3 -3 4

Из последней таблицы находим:

единственное решение системы уравнений АХ= Е

х, = —4, х₂ = 6, х₃— —5;

единственное решение системы уравнений АХ— Е

Х[ —I, х₂= — 1, *э= 1;

единственное решение системы уравнений АХ— Е X]⁼ — 3, Хт — 4, Хд⁼ —3.

Таким образом,

Свойства обратной матрицы

(А~^)-¹=А, (АВУ^В-Ы'¹.