2.26. Разложение определителя по строке и столбцу

Рассмотрим алгебраическую сумму всех правильных произ­ведений матрицы А, содержащих множителем элемент а_л, выне­сем этот общий множитель за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим через А^. Выражение Ал называется алгеб­раическим дополнением элемента а* в определителе матрицы А.

Вычеркнем в матрице А 1-ю строку и ]~т& столбец. Определи­тель полученной матрицы (л—1)-го порядка называют минором элемента вц в определителе матрицы А и обозначают через Л/,₇.

Алгебраическое дополнение Ау равно соответствующему ми­нору А/у, умноженному на ( —1)'^+>, т. е.

Справедливы следующие равенства:

аеМ«=(-1У⁺¹в₍,А/„ +... + (-1)'⁺'а_цЛ/„+...

... + (-\р^яа_ыМ„ (2.20)

йеЫ = (-1)'⁺⁾ а_у А/у +... + (-а_у М_№+...

... + (- 1)"^+Уа_л>Л/_л>. (2.21)

Равенство (2.20) называется разложением определителя мат­рицы А по элементам 1-й строки, а равенство (2.21) — разложени­ем по элементам ]-то столбца.

Формулы (2.20) и (2.21) можно использовать для вычисления определителей матриц. 1{ 2 0 \\

"> 1 1 л V

О Пример. Вычислить определитель матрицы

2 13 4 110 2 ^5 2 1 0у

Разлагая определитель по элементам третьего столбца, по лучаем

2 13 4 110 2 5 2 10

'1 2 0 А

= (-1)^2+,3 М2 +(-П^<+3'1

_{I 5 2 0/}

=(-3)13-1 (-1)=-38. •

2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей

1°. Определитель матрицы не изменяется при транспониро­вании.

2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) мо­жно выносить за знак определителя этой матрицы, т. е.

1а_н а_п ... а_1я\

кац ка_а ■

ка*

= к

1Я \ Ы\

Ьп + С_п

3°. Если все элементы 1-й строки матрицы п-го порядка пред­ставлены в виде суммы двух слагаемых а_и—^+с₎,]=1, 2, п, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, у которых все строки, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а 1-я строка у одной из матриц состоит из элементов Ь,, а у другой — из элементов с,, т. е.

0|я

Ъ\ + С\ Ь_г + с_г

Оп2

\а_я\

(а\\ <*12 ••• «(Л

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца), равеы нулю.

5°. Определитель матрицы не изменится, если к 1-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ее >ю строку (столбец), ум­ноженную на число.

Если в матрице порядка л имеется строка (столбец), все элементы которой равны нулю, кроме одного, то вычисление определителя матрицы п-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы порядка (л — 1).

Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не из­меняя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

О Пример. Вычислить определитель матрицы

Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей —вторую, умноженную на —3, а к четвертой строке — вторую, умноженную на —2, имеем

-2 5-1 3

1. -9 13 7 3-1 5 -5

2. 18 -7 -10

1. - 13 25 17

2. -9 13 7 0 26 - 34 - 26 0 36 -33 -24

2. ^:(-1)²⁺' ацМ₂₁--

3. -13 25 17 26 -34 -26 36 -33 -24