2.15. Матрицы

Прямоугольная таблица чисел

состоящая из т строк и л столбцов, называется матрицей раз­мера тхп. Числа а_1Ь а₁₂, а_тл называются ее элементами. Часто вместо подробной записи используют сокращенную: А = (_%).

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матри­ца называется квадратной, а число ее строк, равное числу сто­лбцов, порядком квадратной матрицы.

Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединя­ющем правый верхний угол с левым нижним, — побочной диаго­налью.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Диа­гональная матрица обозначается символом {а_ь аг, «„}, где в скобках указаны элементы, находящиеся на главной диагонали.

Две матрицы А—(а_и) и В=(Ь_и) называются равными, если числа их строк и столбцов равны и если равны элементы, стоящие на соответственных местах этих матриц: а_и=Ь_и при любых I и _/.

2.16. Умножение матрицы на число и сложение матриц

По определению, чтобы умножить матрицу А на число к, нужно каждый элемент матрицы А умножить на к. Например,

Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (а₀) и В=(Ь„) называется матрица С=(с,,), элементы которой равны суммам соответствен­ных элементов матриц А и В: с^=а^ + Ь^ при любых г и }.

Например,

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через 0. Для любой матрицы А имеем А + 0=А.

Матрица А( — 1) называется противоположной А и обозначает­ся через — А. Вместо А + (—В) пишут А—В.

Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц (А, В, С — матрицы, к, 1 — числа)

2.17. Умножение матриц

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ,

у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:

А В АВ число строк т п т число столбцов п II

А =

в,1 а_а

_\

Запишем матрицы А и В в виде . В=

\ а_т\ От! . . . а™,у

Ь₂\ Ь₂₂

Ь_п1 Ь„_г

Ьц

Обозначим элементы матрицы АВ через с^, 1^г^т, Тогда

/с_п ... с_и . . . Сц \

АВ=

Сц . . . сц

с».

Ст\

С„1

По определению, элемент с\$ матрицы АВ равен скалярному произведению 1-й строки матрицы А (/ — первый индекс эле­мента с^) на_/-й столбец матрицы ВЦ — второй индекс элемента с_ц), т. е.

2 3 4 5 А= \ 9 2 -3 4 | , В= -1 -5 3 11

су = (о„, а_а, а_к) (Ь_ф Ь_у, .... Ь„_}) = а_пЬу+ а_аЬ_у+ ... + а,Ау О Пример. Найти произведение АВ, если

1 -3

2 5

/ 3 2^ 4 -1

Матрица АВ является матрицей размера 3x2. Вычисляем элементы Сц матрицы АВ. Имеем: с„ = (2, 3, 4,5)(3, 4, 1, 2)=2'3 + 34+41+5'2=32;

с₁₂=(2, 3,4,5) (2, -1, -3,5) = 2-2+3(-1)+4(-3) + 5-5 = 14;

с₂₁ = (9, 2, -3, 4) (3, 4, 1,2)=9'3 + 2-4 + (-3)-1+4-2=40;

_С22 = (9,2-3,4)(2, -1, -3,5) = 92 + 2(-1) + (-3)(-3) + + 4-5=45;

с₃, = (-1, -5, 3, 11) (3, 4, 1,2) = (-1)3 + (-5)4 + 31 + + 11-2=2;

с,₂ = (-1, -5,3, 11) (2, -1, -3,5) = (- 1)• 2 + (-5) (-1)+ + 3 (-3)+11 5 = 49.

Свойства умножения матриц

Итак, АВ= I 40 45 1 - •

\ 2 49/

1°. (АВ) к = (Ак) В=А (Вк), к — число. 2°. (А + В) С = АС + ВС. 3°. С (А+В) = СА + СВ. 4°. (АВ) С=А {ВС).

Произведение матриц зависит от порядка множителей. Если

\о о/ \о о/ \р о/ \о о;

[атрицы А, В называются перестановочными, если АВ=ВА.

2.18. Блочные матрицы и действия с ними

Пусть некоторая матрица А разбита на клетки горизонталь' ими и вертикальными прямыми. Например, матрица

а_п а₁₂

(2ц 022

а_Ъ1 а_г2

«бита на четыре клетки. Каждая клетка является матрицей, бозначим клетки матрицы'Л через А,,, А_п, А_гх, А₁₂, где

/а,₃ а_м а_!5\

а_2Ъ Оц

%5 «34 0_Э5

_V

Теперь матрицу А можно записать в виде

■Ац А_{2у

^[\Л₂₁ Ап)

Матрица, которая некоторым образом разбита на клетки, называется блочной или клеточной. Каждую матрицу можно представить в блочной форме разными способами.

При умножении блочной матрицы на число следует все ее клетки умножить на это число.

Чтобы сложить две матрицы одинакового размера и оди­наковым образом разбитых на клетки, достаточно сложить одно­именные клетки этих матриц, т. е.

А_п А_п ... А_х\ 1В_и В_п ... В_ь

А₂\ Л22

\<4/я1 А_т2

■ Аъ,

Ащп

В₂\ В₂₂ . . . Въц

>т2

+ \

\В_т\ в,

А_и +В_п А₁₂+В₁₂ ... А_1я + В_1я\ А₂1+В₂\ А₂₂+В₂₂ ... Аъ+Вь,

[А_т\ + В_т1 А_т1+В_т2 ... А_тн+В_т

Пусть теперь даны матрица А размера л х I и матрица В раз­мера {х /, причем

В_п

В,

А =

В = \

_V

■т\

Ш1

\В„1 . . . В_пр

и число столбцов клетки Ау равно числу строк клетки В# при всех г= 1,т; ; = 1, п; к~1, ...,р. Тогда

АВ=\

!^Ст1

где с_1к=АцВ_1к + А_аВ₂ь+... + А_шВ_як.