2.22. Транспонирование матрицы

Наряду с матрицей А часто приходится рассматривать ма­трицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через

А' или А'.

О Пример. Транспонированной к матрице . /1 0 -1\

является матрица

Свойства операции транспонирования (А: — число)

1°. (Ак$=кА\

2°. (А + В? = А*+&.

3°. (АВ)^Т=В^ТА\

4°.(АУ = А.

Если А — обратимая матрица, то

(А-^ = (АГ\

2.23. Ранг матрицы

Ранг системы вектор-строк матрицы А равен рангу системы ее вектор-столбцов. Число, равное рангу системы строк (или сто­лбцов) матрицы, называется рангом этой матрицы.

Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.

Если обозначить ранг матрицы А через г (А), то

г (АВ)^г (А), г (АВ)^г (В). Если же матрица В обратима, то

г (АВ) = г (А), г(ВА) = г(А). Для ранга произведения матриц А и В справедливо неравенство

г (А)+г (В)-п^г (АВ), где и — число столбцов матрицы А и число строк матрицы В.

2.24. Симметрические и ортогональные матрицы

Квадратная матрица А называется симметрической, если А=А . Если же А — —А^Т, то матрица А называется кососиммет-рической. Элементы а_>к и а*,, расположенные симметрично от­носительно главной диагонали, у симметрической матрицы рав­ны, а у кососимметрической — противоположны.

Если А^Т=А^-1, то квадратная матрица А называется ортого-

нальной. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее строки или столбцы образуют ортонормированную систему векторов.

2.25. Определители квадратных матриц

Назовем произведение п элементов квадратной матрицы пра­вильным, если эти элементы расположены в ее различных строках и различных столбцах, т. е. по одному в каждой строке и каждом столбце.

Если

А=

то произведение а^ап—в** является правильным.

Каждое правильное произведение можно записать в виде

йя₁1Й_а22...ая^,,

(2-16)

т. е. первый множитель содержится в первом столбце, вто­рой — во втором столбце и т. д. Числа а_и а₂,а„ — это номера строк, в которых расположены множители правильного произ­ведения (2.16).

Назовем инверсией в последовательности а_ь а₂, а„ такое расположение индексов, когда больший индекс стоит левее мень­шего. Число всех инверсий в последовательности а_и а₂, обо­значим через N (а_иа₂, л„).

О Пример. В последовательности 2, 4, I, 3 имеется три ин­версии (2 находится левее 1, 4 — левее 1, 4 — левее 3). Таким образом, # (2, 4, 1, 3) = 3. •

Перед каждым правильным произведением вида (2.16) будем

писать знак, определяемый выражением (— 1)^лг("¹' "^{ъ а}"^>.

Определителем матрицы А называется алгебраическая сумма

всех правильных произведений этой матрицы, имеющих знак

плюс или минус в соответствии с приведенным выше правилом.

Определитель матрицы А обозначают йе1А или \А\.

_С

Применим это определение к матрицам второго и третьего

порядка. Из элементов матрицы ко два правильных произведения: а_пви и 0210121 причем первому из них приписывается знак плюс, а второму — знак минус. Следовательно,

Оц 012

о₂, о₂₂

= О, 1022 — 021012-

Правильные произведения матрицы

«11 Й1₂ 0₁₃\

а_2] а₂₂ а₂э о₃1- а_ъг а_зэ,

исчерпываются произведениями

Оца₂₂азз, а_ъха_хга_2Ъ, а_гха_ъф_п,

03|0₂2013, 021«120ЭЭ, 011032^23.

(2.17) (2.18)

причем произведениям (2.17) приписывается знак плюс, а произ­ведениям (2.18) — знак минус. Таким образом,

= 011022^33 + 031012023 + 021032013 ~

-03,022013-021012033-011032023.

(2.19)

Знаки, которые приписываются правильным произведениям в (2.19), можно запомнить следующим образом.

Соединим пунктирной линией каждые три элемента матрицы, произведение которых входит в (2.19) со знаком плюс. Тогда пблучим следующую легко запоминающуюся схему:

Аналогично, для произведений, входящих со знаком минус,

имеем