4 .2 Расчет передаточной функции системы с учетом микропроцессора и проверка её на устойчивость

Рисунок 8 - Структурная схема разомкнутой системы с учетом ЭВМ

Для перехода от линейной неизменяемой части системы к системе с микропроцессором необходимо провести z-преобразование передаточной функции системы.

Для проверки устойчивости системы после перехода от линейной к дискретной форме применим критерий Шур-Кона. Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z - преобразования.

Д ля передаточной функции системы по таблице z – преобразований [24,c.730] получим z – изображение передаточной функции, и предварительно умножив его на фиксатор нулевого порядка , получим следующее изображение передаточной функции замкнутой дискретной системы с запоминанием:

T₀ =10^-2 c – дискретность МП.

(66)

- отношение разрядностей ЦАП и АЦП

Из справочника найдем выражение для передаточной функции нашей системы (T₀ = 0,01 с):

(67)

П роведя вычисления, получим:

(68)

Характеристическое уравнение системы:

(69)

Обозначим:

(70)

(71)

(72)

Согласно данному критерию, если значение определителя с нечетным индексом меньше нуля, а с четным больше нуля, то система является устойчивой. Данное условие выполняется, следовательно, система в дискретной форме является устойчивой.

4. П ОСТРОЕНИЕ ЛАЧХ И ФЧХ И ИХ АНАЛИЗ

Для перехода от линейной неизменяемой части системы к системе с МП необходимо провести z-преобразование передаточной функции системы.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Из справочника найдем выражение для передаточной функции нашей системы:

(73)

Так как

k = 6,83; T₁ = 1,77 с; T₂ = 0,035 с; T₃ = 0,141 с; T₀ = 0,01 с

Подставляя в выражение (73) численные значения постоянных, запишем выражение в числовой форме:

(74)

Перейдем от z - преобразования к - преобразованию с помощью подстановки:

(75)

Заменим на псевдочастоту :

(76)

При этом реальная частота и псевдочастота связаны соотношением:

(77)

Д ля перехода от импульсной передаточной функции к частотной ха­рактеристике подставим в выражение (74) для импульсной передаточ­ной функции следующую подстановку:

Так как Т₀ = 0,01 с, то:

(78)

Запишем выражение для :

(79)

Полученное выражение (79) приведем к общему знаменателю:

(80)

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

(81)

В полученном выражении в числителе и знаменателе вынесем за скоб­ку члены не содержащие jλ, чтобы привести выражение к стандартному виду. Таким образом, получим передаточную функцию в следующем виде:

(82)

По полученной передаточной функции построим асимптотическую ЛАЧХ. Для этого необходимо определить частоты излома и коэффициент k:

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

Используя значения выражений (83), (84), (85), (86), (87), построим асимптотическую ЛАЧХ (рисунок 9).

Построим фазо-частотную характеристику. Для этого необходимо выделить из передаточной функции W(jλ) мнимую и вещественную характеристику. Для этого в выражении (82) раскроем все скобки:

(88)

Чтобы избавиться от комплексных величин в знаменателе домножим и числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение со знаменателем:

(89)

Вещественная и мнимая частотные характеристики:

Фазо-частотная характеристика определяется следующим выражением:

(90)

Задаваясь численными значениями псевдочастоты λ, находим значения фазо-частотной характеристики и заносим их в таблицу 1, по которой стро­им график ЛФЧХ, изображенный на рисунке 9.

Таблица 1 - Значения фазо-частотной характеристики

λ	1	5	10	30	50	70	100	1000
φ(λ)	-67,20	-119,40	-143,30	-161,40	-170,60	-176,40	-182,50	-1850

По графику определим запас устойчивости по фазе и амплитуде. Запас устойчивости по фазе равен 2,6°. Запас устойчивости по амплитуде равен -7дБ. Запасы устойчивости малы и не удовлетворяют хорошей работоспособ­ности системы. Поэтому систему необходимо корректировать.

Р исунок 9 – Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ

П о передаточной функции W(jλ) построим переходный процесс с учетом микропроцессора. Для этого jλ заменим на p:

(91)

(92)

Рисунок 10 – Переходный процесс системы