3 Передаточная функция неизменяемой части системы. Оценка устойчивости системы

На основании того , что определены передаточные функции элементов системы , я строю структурную схему системы . Структурная схема системы автоматического регулирования расхода топлива в двигателе показана на рисунке 2 .

К неизменяемой части относятся элементы , которые присутствуют для обеспечения работоспособности системы , а именно двигатель , топливоподающий электронасос , датчики соответственно расхода , ускорения , частоты и температуры . Изменяемой частью системы является микропроцессор .

Передаточная функция неизменяемой части системы имеет вид :

( 41 )

Устойчивость системы автоматического регулирования расхода топлива можно достаточно легко исследовать путем введения типовых трапецеидальных частотных характеристик . При этом необходимо заменить в передаточной функции р на jw и разделить передаточную функцию на действительную и мнимую части . После необходимых преобразований формула ( 40 ) принимает вид :

( 42 )

Действительная часть :

( 43 )

Мнимая часть :

( 44 )

Для построения переходного процесса методом трапеций запишем действительную частотную характеристику системы :

( 45 )

Построим зависимость от изменяющейся частоты w по таблице 1.

Таблица 1 . Зависимость от частоты w .

w	WФ( w )	w	WФ( w )	w	WФ( w )	w	WФ( w )
0	2	0,4	-0,2	1	-0,135	100	-0,00002
0,2	0,47	0,5	-0,25	2	-0,04		0

Зависимость действительной частотной характеристики от изменения частоты w показана на рисунке 3 .

При замене действительной вещественной частотной характеристики прямолинейными отрезками всю площадь , заключенную между осями координат и частотной характеристикой я разбиваю на ряд трапеций : авс , свde , lfmn , mnkи .

Трапеция авс : U _{Ф 01} = 1,53 Трапеция свde: U _{Ф 02} = 0,67

w _d1 = 0 w _d2 = 0,2

w ₀₁ = 0,2 w ₀₂ = 0,4

 ₁ = 0  ₂ = 0

Трапеция lfmn : U _{Ф 03} = -0,115 Трапеция mnkи: U _{Ф 04} = -0,04

w _d3 = 0,5 w _d4 = 1

w ₀₃ = 1 w ₀₄ = 2

 ₃ = 0,5  ₄ = 0,5

В таблице 2 рассчитаны значения ординат х _n переходных процессов для единичных трапецеидальных действительных частотных характеристик при разных значениях времени t_{n ,}при определенных для каждой из трапеций значениях  .

х _n = U _{Ф o n} · h (x _n ) . ( 46 )

t =  / w _{o n} . ( 47 )

На рисунке 4 построен график переходного процесса рассчитанного в таблице 2 . Из графика 4 определим качество процесса регулирования .

Время регулирования t _рег равно 25 секунд .

Перерегулирование :

% = % = 9,55 % . ( 48 )

Устойчивость режимов работы системы автоматического регулирования расхода топлива в двигателе определяется характером его переходных процессов и следовательно алгебраическим знаком корней характеристического уравнения . Однако часто порядок дифференциального уравнения двигателя оказывается достаточно высоким , в связи с чем определение корней характеристического уравнения является задачей достаточно трудоемкой . Чтобы избежать трудностей при оценке устойчивости работы системы воспользуемся критерием Рауса-Гурвица .

Характеристическое уравнение разомкнутой системы :

(0,004 р ² + 0,83 р + 0,207 ) у ( р ) = 0,157 g ( р ) . ( 49 )

Необходимым условием устойчивости системы являются положительные значения всех определителей матрицы .

Введем обозначения : а 0 = 0,004 , а 1 = 0,83 , а 2 = 0,207 , в 0 =0,157 .

Детерминант Гурвица примет вид :

( 50 )

Переходные процессы будут сходящимися , а режимы работы устойчивыми , если главный определитель Гурвица и все диагональные миноры имеют положительный знак . Из главного определителя выделим диагональные миноры и определим их знак :

∆1 = а ₁ = 0,83 › 0 . (51 )

∆2 = а ₁  а ₂ - 0 = 0,83  0,207 = 0,1718 › 0 . ( 52 )

Все определители системы имеют положительный знак , следовательно система в разомкнутом состоянии устойчива .

Исследуем разомкнутую систему и по критерию Найквиста определим устойчивость замкнутой системы . Для этого запишем передаточную функцию разомкнутой системы :

( 53 )

Действительная часть :

( 54 )

Мнимая часть :