-
Сортировка слиянием с рекурсией.
Слиянием двух упорядоченных множеств называется процесс упорядочения объединения данных множеств.
Теорема. Пусть даны два упорядоченных множества {A1,…,AN } и {B1,…,BN }. В рамках алгоритмов, основанных на простых сравнениях, данные множества нельзя слить быстрее, чем за 2N-1 сравнение в худшем случае. Т.е. 2N-1 является нижней оценкой времени работы алгоритма, если учитывать только время, расходуемой на сравнения элементов множеств, и если положить время одного сравнения равным 1.
Доказательство. Пусть для конкретных заданных множеств выполняются соотношения Ai< Bi и Ai+1> Bi. Тогда отсортированное объединение множеств выглядит следующим образом: {A1, B1, A2, B2 ,…, AN,BN }. Если хотя бы одно из приведенных 2N-1 соотношений не будет проверено, то найдется еще хотя бы одна перестановка элементов множества, удовлетворяющая всем приведенным соотношениям. Например, если не будет проверено соотношение A2> B1, то следующая последовательность будет удовлетворять всем остальным соотношениям:
{A1, A2, B1, B2 ,…, AN,BN }.
Более того, отношения между всеми остальными элементами останутся неизменными. Т.о. мы доказали необходимость всех приведенных сравнений для правильного упорядочивания указанных данных, из чего непосредственно вытекает требуемое.
Дословно так же доказывается следующая теорема
Теорема. Пусть даны два упорядоченных множества {A1,…,AN +1} и {B1,…,BN }. В рамках алгоритмов, основанных на простых сравнениях, данные множества нельзя слить быстрее, чем за 2N сравнений элементов множества в худшем случае.
Алгоритм слияния. Пусть даны два упорядоченных множества {A1,…,AM} и {B1,…,BN }. Введем индексы i, j и k . Изначально i=1, j=1 и k=1 .
Пока iM и jN:
Если Ai < Bj то
Сk++ = Ai++
иначе
Сk++ = Bi++
Конец Если
Конец Цикла
Пока I M:
Сk++ = Ai++
Конец Цикла
Пока j N:
Сk++ = Bi++
Конец Цикла
Легко увидеть, что в данном алгоритме элементы множества сравниваются не более M+N-1 раз. Т.о. данный алгоритм оказывается строго оптимальным по числу сравнений элементов сортируемого множества (по крайней мере в алгоритмах, основанных на простых сравнениях).
Вопрос на понимание: можно ли два упорядоченных множества {A1,…,AN } и {B1,…,BN} слить быстрее чем за 2N-1 операций сравнения в каком либо алгоритме, основанном операциях сравнения? … на операциях простого сравнения?
Алгоритм сортировки слиянием. Обозначим данный алгоритм Z(A1,…,AM ), где {A1,…,AN } – сортируемое множество элементов. Алгоритм имеет следующий вид
Если число обрабатываемых элементов 1 то ВЫЙТИ
M1 = [ M/2 ]; M2 = M-M1; // размеры половин массива
Z(A1,…,AM1 )
Z(AM1+1,…,AM )
Слить упорядоченные множества {A1,…,A M1 } и { AM1+1,…,AM } в массив B.
Скопировать массив B в массив {A1,…,AN }.
Легко видеть, что данный алгоритм решает задачу за время O(N log2 N), где N – количество элементов в сортируемом массиве.
Недостатком алгоритма является необходимость использования дополнительного массива с размером, равным размеру исходного массива.