1. Высота b-дерева

Получим оценку на высоту В-дерева через количество элементов в нем.

Корень дерева содержит не менее одного элемента. На втором уровне содержится не менее двух вершин, а в каждой вершине – не менее n-1 элементов. На каждом следующем уровне количество вершин увеличивается не менее чем в n раз (т.к. каждая вершина имеет не менее n потомков). Т.о. на k-ом уровне будет не менее 2n^k-2 вершин для k>1, и, соответственно, не менее 2(n-1)n^k-2 элементов.

Т.о. получаем оценку на количество элементов N в дереве высоты h

1. N  1+_k=2^kh 2(n-1)n^k-2=1+2(n-1)_k=0^kh-2 n^k=

=1+2(n-1)(n^h-1-1)/(n-1)= 2 n^h-1-1

Т.о., учитывая то, что оценка сверху на число элементов в дереве получается аналогичным образом, мы получаем, что верна следующая

Теорема. Для В-дерева степени n, содержащего N элементов, высоты h верна оценка для высоты

h=(log_n-1N).

Верна точная оценка

h  log_n((N+1)/2)+1.

2. Поиск вершины в b-дереве

Поиск вершины, содержащей заданный элемент (или элемент с ключом, равным заданному), осуществляется аналогично поиску в двоичном дереве поиска. Единственное отличие – для каждой вершины процедура поиска данного элемента более сложная, чем для случая дерева поиска. На языке поиск элемента, равного v, в В-дереве с корнем root можно оформить в виде следующей функции

BNode *BSearch(BNode *root, int v)

{

if(root==NULL)return NULL;

for(i=0;i<root->n;i++)

if(root->value[i]==v)return root;

else if(root->value[i]>v)return BSearch(root->child[i],v);

return BSearch(root->child[i],v);

}

3. Отступление на тему языка с. Быстрый поиск и сортировка в языке с

В конкретных реализациях степень В-дерева может быть весьма большой. Поэтому поиск элемента в одной вершине при больших степенях В-деревьев следует производить с помощью двоичного поиска. В языке С есть стандартная функция для поиска в упорядоченном массиве bsearch. Например, в Microsoft Visual C эта функция имеет следующее описание

void *bsearch( const void *key, const void *base, size_t nmemb, size_t size, int ( __cdecl *compare ) ( const void *elem1, const void *elem2 ) );

В других компиляторах описание этой функции аналогично, быть может, с точностью до тонкостей. Например, в компиляторе gcc описание этой функции имеет следующий вид

void *bsearch(const void *key, const void *base, size_t nmemb, size_t size, int (*compare)(const void * elem1, const void * elem2));

Здесь key – указатель на искомый элемент, base – указатель на массив с данными, nmemb – количество элементов в массиве, size – размер в байтах одного элемента массива, compare – указатель на функцию, получающую указатель на два элемента массива и возвращающую результат сравнения элементов: +1 – если первый элемент больше второго, -1 – если второй элемент больше первого, 0 – если элементы равны.

Для нашего случая – поиска целого числа в массиве функция сравнения может быть определена следующим образом

int compare(const void *v0,const void *v1)

{ return *(int*)v0>*(int*)v1 ? 1 : *(int*)v0<*(int*)v1 ? -1 : 0 ; }

К сожалению, если данный элемент в массиве не найдет, то функция bsearch возвращает NULL, при этом информация о том – между какими элементами находится искомый, теряется. Если нам все же хочется непременно воспользоваться функцией bsearch, то мы можем применить некоторый трюк: мы можем воспользоваться информацией о том, что реально – первый параметр bsearch это – адрес искомого элемента, а второй – адрес некоторого элемента в массиве. Исходя из алгоритма двоичной сортировки, если искомый элемент в массиве отсутствует, то последний элемент *v1 при вызове функции compare, для которого оказалось, что

*(int*)v0<*(int*)v1

будет ближайшим элементом массива, большим искомого (=*(int*)v0) . Адрес этого элемента можно запомнить в соответствующей глобальной переменной. Чтобы указанное свойство было верным и для последнего элемента исходного массива, поместим вслед за последним элементом массива самое большое из всех чисел типа int, и, соответственно, запретим его использование в обычной работе. Поиск же элемента будем производить в расширенном массиве. В этом случае функцию сравнения следует оформить следующим образом

int *v_gt_save=NULL;

int compare (const void *v0,const void *v1)

{

if(*(int*)v0>*(int*)v1)return 1;

if(*(int*)v0<*(int*)v1){v_gt_save=(int*)v1;return -1;}

return 0;

}

Функция поиска вершины может тогда выглядеть следующим образом

BNode *BSearchQ(BNode *root, int v)

{

if(root==NULL)return NULL;

root->value[root->n]= INT_MAX;

if(bsearch(&v, root->value, root->n+1, sizeof(int),compare))return root;

return BSearchQ(root->child[v_gt_save-root->value], v);

}

Здесь константа INT_MAX обозначает максимальное число типа int. Данная константа (определяемая через #define) является, фактически, стандартной в разных версиях языка С. Так, например, в Microsoft Visual C и GCC эта константа определяются в стандартном файле include.h.

Отметим, что данный подход, возможно, не является оптимальным как в плане скорости счета (присутствует лишняя операция присваивания v_gt_save=(int*)v1), так и в плане выполнения правил хорошего тона (в алгоритме использовались глобальные переменные). Однако этот подход немного экономит время программиста (не надо программировать алгоритм двоичного поиска). В нашем же случае он, скорее, служит примером использования функции bsearch.

Еще одним примером использования указателей на функцию является использование функции быстрой сортировки. Функция имеет следующее описание в Microsoft Visual C

void qsort( void *base, size_t num, size_t size, int (__cdecl *compare )(const void *elem1, const void *elem2 ) );

а в GCC:

void qsort(void *base, size_t num, size_t size, int (*compar)(const void*,const void*));

здесь base – указатель на массив с данными, num – количество элементов в массиве, size – размер в байтах одного элемента массива, compare – указатель на функцию, получающую указатель на два элемента массива и возвращающую результат сравнения элементов: +1 – если первый элемент больше второго, -1 – если второй элемент больше первого, 0 – если элементы равны.

Например, в нашем случае отсортировать массив элементов одной вершины node В-дерева можно следующим образом

Bnode *node;

qsort(node->value, node->n, sizeof(int),compare);