1. Операции с идеально сбалансированным деревом

Выше мы описали ряд алгоритмов выполнения базовых операций для деревьев поиска. К сожалению, не существует быстрых алгоритмов, для выполнения этих операций для идеально сбаланированных деревьев. Однако, определение идеально сбаланированного’ дерева, фактически, дает нам алгоритм его построения, что сразу же дает нам возможность строить и идеально сбаланированное дерево по тому же набору элементов. Для построения идеально сбаланированного’ дерева по набору из N элементов упорядочим этот набор. После этого алгоритм построения дерева сводится к разбиению полученной последовательности {a_i}_i=1,…,N на последовательности {a_i}_{i=1,…,[N/2]} и {a_i}_{i=[N/2]+2,…,N}. Эти последовательности либо имеют равную длину (для нечетных N), либо их длина отличается не более, чем на единицу (для четных N). В корень создаваемого дерева помещаем элемент a_[N/2]+1 , а левое и правое поддеревья строим таким же алгоритмом, соответственно, для последовательностей {a_i}_{i=1,…,[N/2]} и {a_i}_{i=[N/2]+2,…,N}.

Итак, приведенный алгоритм доказывает следующую теорему:

Теорема. Идеально сбалансированное’ (а значит и идеально сбалансированное) дерево поиска, состоящее из N вершин, можно построить за время, равное O(N log₂ N).

Таким образом, идеально сбалансированные деревья поиска удобны в тех случаях, когда перестройку дерева требуется производить, относительно редко, но требуется часто искать элементы в дереве. Приведенная оценка на высоту дерева гарантирует, что данная структура данных является наилучшей, с точки зрения времени поиска элементов в множестве (отметим, что здесь мы рассматриваем толко алгоритмы поиска, основанные на сравнениях). Все остальные операции (добавления элементов, удаления элементов и т.д.) в идеально сбалансированном дереве производятся с помощью полной перестройки дерева, т.е. они производятся медленно.

Отметим, что наша задача выродилась. Идеально сбалансированные деревья полезны только для поиска элементов в этих деревьях, но тогда дерево вообще не нужно строить! Достаточно ограничиться упорядоченным массивом исходных элементов, а поиск производить с помощью бинарного поиска. В этом случае, согласно построению идеально сбалансированного дерева’, поиск по дереву будет в точности совпадать с поиском по массиву, что делает само дерево ненужным.

2. Операции со сбалансированным деревом

Оказывается, что для сбалансированных деревьев все описанные выше операции можно модифицировать так, что они будут сохранять сбалансированность дерева, при этом, время их выполнения не будет превышать O(log₂ N) операций. Везде далее, говоря о сбалансированных деревьях, будем подразумевать, что мы имеем дело с сбалансированными деревьями поиска.

Правым и левым поддеревьями некоторой вершины дерева v называются поддеревья с корнями v->left и v->right, соответственно.

Балансом вершины дерева будем называть разность высот левого и правого поддеревьев этой вершины.

3. Поиск элемента в дереве

Не отличается от случая стандартных деревьев поиска.