21. Лекция 11

22. B-деревья

До сих пор мы рассматривали только бинарные деревья. Теперь рассмотрим деревья, имеющие большую степень ветвления. При этом хочется, чтобы сохранялись свойства, аналогичные свойству сбалансированности в сбалансированных деревьях. Этим условиям удовлетворяют B-деревья. Отметим, что B-деревья являются основным инструментом построения многих современных файловых систем (RaiserFS, JFS, XFS).

В B-деревьях в каждой вершине может содержаться несколько элементов (ключей). Высота дерева определяется как максимальное количество вершин в ветвях. Будем далее рассматривать случай, когда все элементы (ключи) в дереве различны.

В-дерево степени n определяется следующим образом

• каждая вершина дерева, кроме корня, содержит от n-1 до 2n-1 элемента (ключей) и от n до 2n ссылок на дочерние элементы; корень дерева содержит не более 2n-1 элементов (ключей) и не более 2n ссылок на дочерние элементы

• В-дерево идеально сбалансировано, более того, длины всех ветвей совпадают;

• элементы в каждой вершине упорядочены по возрастанию

• если в вершине содержится k элементов, то в ней содержится k+1 ссылок на дочерние вершины (кроме листьев, ссылок на дочерние вершины не содержащих);

• элементы в вершине и ссылки на дочерние вершины сопоставляются следующим образом: про первую ссылку говорят, что она располагается до первого элемента, про последнюю – что она располагается после последнего элемента, остальные ссылки располагаются каждая – между некоторой парой элементов в вершине;

• все элементы x_i в поддереве V, ссылка на который расположена после некоторого элемента y больше y; все элементы x_j в поддереве V, ссылка на который расположена до некоторого элемента z больше z. Пример В-дерева степени 3:

Как правило, В-деревья имеют достаточно большие степени. Например, их задают исходя из того, что одна вершина должна занимать один блок на диске.

На языке С тип данных для хранения одной вершины В-дерева степени 100 целых чисел можно определить следующим образом

#define NB 100

typedef struct BNode_

{

struct BNode_ *par;

int n;

struct BNode_ *child[2*NB];

int value[2*NB];

} BNode;

Здесь n – количество элементов, содержащихся в вершине, value[i] – значение i-го элемента, child[i] – указатель на соответствующего потомка. Заметим, что мы отвели на один целый элемент больше, чем нам требуется для хранения данных. Этим мы воспользуемся позднее – при поиске элемента в В-дереве.

Если элемент дерева занимает много места, то имеет смысл в вершинах хранить не сами данные, а указатели на них. Так, например, допустим, мы хотим создать дерево для хранения строк, в понимании языка С, тогда тип вершины можно определить следующим образом

#define NB 100

typedef struct BNode_

{

struct BNode_ *par;

int n;

struct BNode_ *child[2*NB];

char *str[2*NB-1];

} BNode;

Инициализировать такую структуру можно очень простой функцией:

void Init(BNode *node){memset(node,0,sizeof(BNode));}

После инициализации занесение строки в k-ый элемент вершины можно осуществить следующей функцией

void Insert(BNode *node, int i_elem, char *str)

{

if(node->str[i_elem]!=NULL)free(node->str[i_elem]);

node->str[i_elem]=strdup(str);

}