2. Построение решения в matlab
2.1. Построение переходной и весовой функции
Исследование функционирования конкретных САУ производят при нескольких различных, четко определенных воздействиях, называемых типовыми. К этим воздействиям относятся.
Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (см. рис. 2 а).
Импульсное воздействие – воздействие, представляющее собой одиночный импульс прямоугольной формы, имеющий достаточно большую высоту h (см. рис. 2 б) и существенно меньшую по сравнению с инерционностью системы длительность τ .
Рис. 2. Виды типовых воздействий САУ
Переходная функция - реакция динамической системы в графическом представлении на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.
Весовая функция - реакция динамической системы в графическом представлении на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях.
Построим переходные функции каждого звена в программе Simulink.
Для звена W1 получим схему:
Рис.3. Структурная схема (файл ' W1')
Зададим коэффициенты передаточных функций:
>> k1=100;k2=125;k3=150;T1=0.25;T2=0.025;T3=0.0025;T11=0.05;p2=0.8;
Извлечем данные из файла 'W1':
>> [A,B,C,D]=linmod('W1')
A = -4
B = 100
C = 3.2000
D = 20
Занесем их в общую передаточную функцию:
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num = 20 400
den = 1 4
>> W=tf(num,den)
Transfer function:
20 s + 400
----------
s + 4
Построим переходную функцию указанной системы (рис.3), получим:
>> step(W),grid
Рис.4. Переходная функция блока W1
Для звена W2 получим схему:
Рис.5. Структурная схема (файл ' W2')
>> [A,B,C,D]=linmod('W2')
A = -40
B = 1
C = 5000
D = 0
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num = 0 5000
den = 1 40
>> W=tf(num,den)
Transfer function:
5000
------
s + 40
>> step(W),grid
Рис.6. Переходная функция блока W2
Для звена W3 получим схему:
Рис.7. Структурная схема (файл ' W3')
>> [A,B,C,D]=linmod('W3')
A = -1.6000 -400.0000
1.0000 0
B = 1 0
C = 0 60000
D = 0
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num = 1.0e+004 * 0 -0.0000 6.0000
den = 1.0000 1.6000 400.0000
>> W=tf(num,den)
Transfer function:
-4.441e-016 s + 6e004
---------------------
s^2 + 1.6 s + 400
>> step(W),grid
Рис.8. Переходная функция блока W3
Теперь построим переходную и весовую функции исходной системы.
Составим исходную схему в программе Simulink.
Рис.9. Структурная схема (файл 'untitled1')
>> k1=100;k2=125;k3=150;T1=0.25;T2=0.025;T3=0.0025;T11=0.05;p2=0.8;
>> [A,B,C,D]=linmod('untitled1')
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
>> W=tf(num,den)
Transfer function:
6.04e-013 s^3 - 1.735e-009 s^2 + 6e009 s + 1.2e011
--------------------------------------------------
s^4 + 45.6 s^3 + 630.4 s^2 + 17856 s + 64000
>> step(W),grid
Рис.10. Переходная функция исходной системы
Построим весовую функцию указанной системы.
>>
impulse(W),grid
Рис.11. Весовая функция исходной системы
2.2. Анализ устойчивости
Устойчивость системы автоматического управления связана с ее способностью возвращаться в исходное состояние после исчезновения внешних воздействий, возмутивших ее.
Неустойчивая система - система, у которой ограниченные входные воздействия вызывают неограниченные реакции или после снятия этих воздействий нет движения к невозмущенному состоянию.
Необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность диагональных определителей в исходном определителе Гурвица. Если при вычислении появляется отрицательный определитель, то можно прекратить вычисления и сделать вывод о неустойчивости системы.
Исследуем на устойчивость системы с помощью матрицы Гурвица. Для этого построим и найдем 4 главных диагональных минора матрицы Гурвица, которая составлена из коэффициентов многочлена знаменателя.
>> d1= det([den(2) den(4) 0 0
den(1) den(3) den(5) 0
0 den(2) den(4) 0
0 den(1) den(3) den(5)])
>>d2= det([den(2) den(4) 0
den(1) den(3) den(5)
0 den(2) den(4)])
>> d3= det([den(2) den(4)
den(1) den(3)])
>> d4=den(2)
Будем иметь:
d1 = 3.9281e+012
d2 = 6.1377e+007
d3 = 1.0890e+004
d4 = 45.6000
Так как все миноры матрицы Гурвица положительны, то исходная система устойчива.