10. Построение переходной функции системы

Качество переходных процессов в САР можно оценить по переходной функции h(t), представляющей собой реакцию системы на единичный скачок, приложенный к входу при нулевых начальных условиях.

При построении переходной функции методом трапецеидальных характеристик необходима вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замкнутой системы Р(w). Для построения ВЧХ P(w) по логарифмическим характеристикам L_с(w) и j_с(w) можно воспользоваться номограммой [3. с. 200, рис.5.24], однако для повышения точности лучше выполнить расчет ординат ВЧХ по формуле

где .

Результаты расчета заносим в таблицу 4.

Таблица 4

ВЧХ скорректированной САР

, рад/с	0,125	0,25	0,5	1	2	4	8	16	32	64
, град	-41,982	-69,834	-93,409	-103,87	-110,44	-124,06	-153,84	-200,4	-258,43	-304,3
, Дб	29,62	29,62	18,25	9	3	-3	-9	-15	-31,5
,	0,976	0,988	0,992	0,957	0,748	0,148	-0,394	-0,193	-0,004

Имея вещественную частотную характеристику P(), можно приближенно построить переходную функцию h(t), показывающую зависимость изменения во времени выходной величины системы в результате приложения к ее входу единичного скачка при нулевых начальных условиях. Для этого воспользуемся методом трапеций.

Проаппроксимируем график ВЧХ кусочно-ломаной линией и разобьем его на типовые трапецеидальные вещественные частотные характеристики (см. рис.7), характеризующиеся тремя параметрами: высотой Р₀ = P(0), большим основанием w₀, c^-1, и коэффициентом наклона c, равным отношению меньшего основания к большему: c = w_d /w₀.

Получим две трапеции.

По таблице h – функций, дающей зависимость нормированной ординаты переходной функции от нормированного временидля трапеции с высотойР₀ = 1, основанием w₀=1, c^-1 и различными коэффициентами наклона 0 £ c £ 1 [3. с. 152‑153, табл. 4.2.] определяем _{и при следующих коэффициентах χ:}

Рис.7. Трапецеидальная вещественная частотная характеристика.

Для перехода к реальной переходной функции нормированные ординаты умножаем на высоту трапеции Р₀, а нормированное время делим на w₀:

H = ×P₀,

Все расчеты сводим в таблицы 5 и 6 соответственно для трапеций abnm и odcn.

Таблица 5

№ п/п		t		H
1	0,5	0,085	0,199	0,271
2	1	0,169	0,386	0,525
3	1,5	0,254	0,560	0,762
4	2	0,339	0,709	0,964
5	2,5	0,424	0,833	1,133
6	3	0,508	0,928	1,262
7	3,5	0,593	0,994	1,352
8	4	0,678	1,039	1,413
9	4,5	0,763	1,057	1,437
10	5	0,847	1,067	1,451
11	8	1,356	1,024	1,393
12	10	1,695	1,027	1,397
13	13,5	2,288	1,000	1,360
14	15	2,542	0,995	1,353
15	17	2,881	0,996	1,355
16	20	3,990	0,991	1,348
17	21	3,559	0,991	1,348
18	22,5	3,814	0,995	1,353
19	24,5	4,153	0,999	1,359
20	26	4,407	0,999	1,359

Таблица 6

№ п/п		t		H
1	0,5	0,016	0,215	-0,084
2	1	0,031	0,417	-0,163
3	1,5	0,047	0,603	-0,235
4	2	0,063	0,761	-0,297
5	2,5	0,079	0,891	-0,347
6	3	0,094	0,986	-0,385
7	3,5	0,109	1,050	-0,410
8	4	0,125	1,090	-0,425
9	4,5	0,141	1,104	-0,431
10	5	0,156	1,102	-0,430
11	7,5	0,234	1,020	-0,398
12	11	0,344	1,002	-0,391
13	12,5	0,391	0,990	-0,386
14	14,5	0,453	0,984	-0,384
15	18	0,563	1,000	-0,390
16	20	0,625	1,001	-0,391
17	21	0,656	1,001	-0,391
18	22,5	0,703	1,006	-0,392
19	25	0,781	1,004	-0,392
20	26	0,813	1,001	-0,391

Строим зависимости H_i(t) графически и суммированием их ординат для ряда значений t находим результирующую переходную функцию

11. Оценка показателей качества процесса перерегулирования

по переходной функции

Из полученного графика переходной функции h(t) определим прямые показатели качества: перерегулирование и время регулированияТ_рег, где h_max, h_уст – максимальное и установившееся значения переходной функции, соответственно:

, что меньше заданного значения – 30% (требование выполнено).

Т_рег = 1,24 c, что меньше заданного значения – 3,0 с. (требование выполнено).

Таким образом, синтезированная скорректированная САУ полностью отвечает предъявляемым к ней требованиям и по устойчивости, и по качеству процесса регулирования.

Литература

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В. А. Бесекерского. – 5-е изд., перераб. – М.: Наука, 1978. – 512с.

2. Лукас В. А. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов – 2-е изд., перераб. и доп. ‑ М.: Недра, 1990. ‑ 416с.

3. Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы. Элементы теории, методы расчета и справочный материал: Учеб. пособ. для вузов. ‑ М.: Машиностроение, 1977. ‑ 464с.

4. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособ. Для втузов. ‑ 2-е изд., перераб. и доп. ‑ М.: Наука, 1989. ‑ 304с.

5. Сташинов Ю. П. Курсовое проектирование по теории автоматического управления:Учебно-методическое пособие/ Шахтинский ин-т (филиал) ЮРГТУ (НПИ). Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2001, 28 с.

16