Министерство науки и образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Кафедра АПУ

Синтез систем управления механическим объектом.

Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине "Теория Автоматического Управления".

Выполнили: Студенты группы 5321

Проверил:

Проф. Имаев Д.Х

Санкт-Петербург

2008 г.

Содержание.

Введение

1. Механическая система, как объект управления

1.1 Описание объекта управления.

1.2 Математическая модель объекта управления.

1.3 Дифференциальные уравнения в форме Коши.

1.4 Линеаризация дифференциальных уравнений объекта управления.

2. Анализ объекта управления

2.1 Компьютерная имитация объекта управления.

2.2 Линеаризация модели.

2.3 Анализ устойчивости положения равновесия.

2.4 Анализ управляемости и наблюдаемости объекта.

2.5 Передаточная функция объекта.

3. Синтез регуляторов

3.1 Синтез регуляторов состояния.

3.2 Синтез наблюдателя состояния объекта.

3.3 Динамический регулятор.

3.4 Компьютерное моделирование системы “Нелинейный объект плюс линейный регулятор”.

3.5 Попытка расширения области притяжения положения равновесия.

1. Механическая система, как объект управления.

1.1 Описание объекта управления.

Объект представляет собой подвижную каретку с перевернутым маятником, как это показано на рис 1.1. Неустойчивая механическая система имеет две степени свободы. На рис 1.1 приняты следующие обозначения: M– масса каретки, кг;m– масса маятника, кг;l– длина маятника, м;𝜃– угол отклонения маятника, рад;x– положение каретки, м;f– сила, Н.

Примем следующие параметры механического объекта: l= 1 м;m= 1 кг;M=0.2 кг.

рис. 1.1. Принципиальная схема объекта управления

1.2 Математическая модель объекта управления.

Примем следующие допущения:

• Массы считаем сосредоточенными;

• Отсутствует трение;

• Отсутствует сопротивление воздуха;

Составим уравнение баланса моментов на маятник и сил действующих на каретку.

Момент инерции для вращательного движения

Баланс сил действующих на каретку:

Начальные условия:

Решение нелинейных дифференциальных уравнений редко удается получить аналитически, т.е нельзя получить выражения например такие:

Поэтому единственным средством анализа поведения остается чистое интегрирование, автоматизированное с помощью компьютерного моделирования.

1.3 Дифференциальные уравнения в форме Коши.

Запись дифференциальных уравнений в форме Коши упрощается, если исходные уравнения разрешимы относительно старших производных, поэтому разрешим исходные уравнения относительно Заметим, что в исходные уравнения переменныевходят линейно и запишем уравнения в матричной форме:

Система имеет решение, если ее определитель не тождественен нулю.

По правилу Крамера получим:

Уравнения в форме Коши:

1.4 Линеаризация дифференциальных уравнений объекта управления.

Будем рассматривать малые отклонения переменных Тогда мы можем написать, что

Запишем линеаризованные уравнения в форме Коши:

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме пространства состояний:

2. АНАЛИЗ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ.

2.1 Компьютерная имитация объекта управления.

Воспользуемся программой Simulink, кодирование на языке графического редактора которого базируется на дифференциальных уравнениях в форме Коши.

Рис.1. Компьютерная имитация объекта в среде Simulink.

Проведем исследование работы модели при различных начальных условиях:

1)

2)

3)

4)

2.2 Линеаризация моделей

Для линеаризации модели объекта, при малых изменениях воспользуемся командой:

Полученные матрицы задают линеаризованную модель в форме пространства состояний.

- матрицы состояний, входа (управления), выхода, обхода соответствующих размеров.

Сопоставим полученные матрицы с матрицами, полученными вручную. Можем заметить, что матрицы отличаются нумерацией переменных. Это объясняется тем, что программа компьютерной линеаризации выбирают иной порядок переменных.

По виду матриц можно установить соответствие между компьютерными и физическими переменными.