1.4 Линеаризация дифференциальных уравнений объекта управления.
Будем рассматривать малые отклонения
переменных 
Тогда мы можем написать, что 
Запишем линеаризованные уравнения в форме Коши:
Запишем систему линейных уравнений в матричной форме пространства состояний:
2. Анализ объекта управления.
2.1 Компьютерная имитация объекта управления.
Воспользуемся программой Simulink, кодирование на языке графического редактора которого базируется на дифференциальных уравнениях в форме Коши.
Рис.1. Компьютерная имитация объекта в среде Simulink.
Проведем исследование работы модели при различных начальных условиях:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.2 Линеаризация моделей
Для линеаризации модели объекта, при
малых изменениях 
воспользуемся командой:
Полученные матрицы задают линеаризованную модель в форме пространства состояний.
-
матрицы состояний, входа (управления),
выхода, обхода соответствующих размеров.
Сопоставим полученные матрицы с матрицами, полученными вручную. Можем заметить, что матрицы отличаются нумерацией переменных. Это объясняется тем, что программа компьютерной линеаризации выбирают иной порядок переменных.
По виду матриц
можно установить соответствие между
компьютерными и физическими переменными
.
2.3 Анализ устойчивости положения равновесия “в малом”.
Для анализа устойчивости положения равновесия воспользуемся первым методом Ляпунова, которое позволяет судить об устойчивости нелинейной системы по линеаризованным уравнениям.
Для устойчивости положения равновесия
необходимо и достаточно, чтобы матрица
линеаризованной системы имела собственное
значение в левой полуплоскости.
Найдем собственные значения матрицы
по команде 
.
Объект неустойчив, т.к. имеется одно правое собственное значение. Для стабилизации верхнего положения маятника необходимо создать систему автоматического регулирования.
2.4 Анализ управляемости и наблюдаемости объекта.
Задача синтеза алгоритма управления устройства (регулятора) имеет решение, если объект управляем, т.е. воздействуя на каретку силой f можем изменять все компоненты вектора состояния.
Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к определению ранга матрицы управляемости U.
Выполним вычисления:
U=ctrb(A,B)
U =
0 5.0000 0 245.0000
0 -5.0000 0 -294.0000
-5.0000 0 -294.0000 0
5.0000 0 245.0000 0
rank(U)
ans =
4
Матрица имеет полный ранг (не особенная, обратимая, определитель отличен от нуля), что означает полную управляемость объекта. Наблюдаемость означает принципиальную возможность вычисления вектора состояния по измерениям положения каретки х.
Для анализа наблюдаемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости.
Проверим ранг:
rank(obsv(A,C))
ans =
4
Объект наблюдаем полностью, что является необходимым условием существования решения задачи синтеза наблюдателя состояния. Объект неустойчив, но полностью управляем и наблюдаем.