3. Синтез регуляторов.

3.1 Синтез регулятора состояния.

Пусть доступна текущая информация о векторе состояния V. Тогда алгоритм формирования управляющих воздействий запишется так:

В результате охвата объекта регулятором состояния, как это изображено на рисунке 3.1, получим замкнутую систему.

fV

Рис. 3.1 Замкнутая система с регулятором состояния

Если из уравнений системы

исключим переменную f , то получим дифференциальное уравнение замкнутой системы в форме пространства состояний.

Матрица системы должна иметь желаемые собственные значения, что обеспечивается выбором матрицыk (если параА, Вуправляема).

Для выбора матрицы k имеется два подхода:

1. Размещение собственных значений;

2. Минимизация квадратичного функционала.

Выберем первый подход и назначим желаемые собственные значения в левой полуплоскости.

Здесь есть произвол. Выберем желаемые собственные значения ориентируясь на естественную динамику объекта.

p=[-1 -2 -3 -8]';

k=place(A,B,p)

k=

-0.9796 -24.5396 -4.7184 -1.9184

3.2 Синтез наблюдателя состояния объекта.

Регулятор состояния требует текущей информации о полном векторе состояния. Однако непосредственно измеряется только положение каретки х. Возникает задача вычисления в реальном времени остальных переменных. Недостаток текущей информации можно частично скомпенсировать за счет априорной информации о модели объекта.

Объект удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования решения задачи синтеза наблюдателя – объект полностью наблюдаем.

На рисунке 3.2 изображена структурная схема наблюдателя Люенберга.

Рег. Сост.

fx

δx

f

- +

ЭС

Модель объекта

Рис. 3.2 Структурная схема наблюдателя Люенберга

Наблюдатель представляет собой следящую систему, целью которой является, чтобы:

При этом состояние модели стремится к состоянию объекта.

Роль регулятора в наблюдателе играет матрица L, для поиска которой можно применить метод размещения собственных значений и использовать те же алгоритмы и программные средства, что и для синтеза регулятора состояния.

Назначим желаемые собственные значения наблюдателя в левой полуплоскости (наблюдатель должен быть устойчив), причем несколько дальше от собственных значений, назначенных при синтезе регулятора состояния. Это обеспечивает большее быстродействие процессов наблюдателя.

Матрицу Lполучим по команде:

p0=[-10 -12 -14 -16]';

L=place(A',C',p0)'

L=

1.0e+003 *

0.0520

-0.2364

-1.8239

1.0628

3.3 Динамический регулятор.

Динамический регулятор представляет собой объединение статического регулятора состояния и наблюдателя, как это показано на рисунке 3.3.

f x

Динамический регулятор

Рис. 3.3 Структурная схема системы с динамическим регулятором

В результате получилась система с отрицательной обратной связью, как это показано на рисунке 3.4, где:

plant=ss(A,B,C,D);

[Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,k,L);

regulator=ss(Ar,Br,Cr,Dr);

Рис. 3.4 Замкнутая система с динамическим регулятором

Проведем анализ устойчивости замкнутой системы с динамическим регулятором (см. рис. 3.4):

sys=feedback(plant,regulator);

eig(sys)

ans =

-16.0000

-1.0000

-2.0000

-3.0000

-14.0000

-12.0000

-10.0000

-8.0000

Полученная замкнутая система имеет в точности заданные собственные значения.

3.4 Компьютерное моделирование системы «Нелинейный объект + линейный регулятор».

Единственным способом анализа сложных нелинейных моделей оказывается компьютерное моделирование.

Отредактируем модель объекта на языке программы MATLAB/Simulink, добавив динамический регулятор, как это показано на риунке 3.5.

Рис. 3.5 Система с динамическим регулятором

Динамический регулятор был синтезирован в предположении о малых отклонениях переменных от положения равновесия. Поэтому компьютерные эксперименты с заданной системой проводим для малых отклонений, т.е. в малых начальных условиях на интеграторах.

Целью компьютерных экспериментов является оценка области притяжения положения равновесия – определение максимальных отклонений маятника икаретки, при которых процесс затухает.

На рисунке 3.6 изображены переходные процессы при максимальном отклонении маятника, а на рисунке 3.7 переходные процессы при максимальном отклонении каретки.

Рис. 3.6 Переходные процессы при максимальном отклонении маятника

Рис. 3.7 Переходные процессы при максимальном отклонении каретки