3. Вывод уравнений динамики. Получение офп элементов сар.

Свойства САР определяются свойствами образующих ее элементов и характером связей между ними. Поэтому анализ процессов в САР следует начать с математического описания функциональных элементов системы. Назначение любого из них, независимо от устройства и принципа действия, как правило, сводится к тому, чтобы получить воздействие от предыдущего элемента, преобразовать его и передать последующему. Поэтому элемент САР можно рассматривать как преобразователь некоторого входного воздействия х(t) в выходную величину y(t)

Наиболее полно свойства элемента автоматики как преобразователя описываются уравнением динамики и операторной функцией передачи.

Уравнение динамики устанавливает связь между входной и выходной переменными во времени: F[x(t);y(t)]=0. Обычно это дифференциальное уравнение, т.е. помимо переменных х(t), y(t) оно содержит также их производные по времени различных порядков.

Операторная функция передачи (ОФП), являющаяся наиболее компактной формой описания динамических свойств элемента САР, может быть получена непосредственно из уравнения динамики как отношение выходной переменной к входной в операторной форме:

.

ОФП показывает, какое преобразование выполняет элемент над входной переменной х(t) для получения выходной переменной y(t), поскольку

y(t)=W(p) x(t).

1. Электронный усилитель (ЭУ).

Электронный усилитель (ЭУ) считаем безынерционным звеном. Входное сопротивление принимаем равным бесконечности, а выходное – равным нулю.

Уравнение динамики:

,

где U₁(t) – выходное напряжение;

U₂(t) – входное напряжение;

K₁ – статический коэффициент усиления ЭУ.

ОФП для ЭУ:

.

2. Электромашинный усилитель (ЭМУ).

Электромашинный усилитель применяют для усиления входного сигнала по величине напряжения и по мощности.

Для вывода уравнения динамики первого звена используем следующие уравнения:

(1)

(2)

Из (2) выразим и найдем его производную :

; .

Полученные выражения подставим в (1):

,

,

где - ЭДС в короткозамкнутой цепи;

- входной сигнал (вход обмотка управления ЭМУ);

- электромагнитная постоянная времени цепи управляющей обмотки ЭМУ;

- индуктивность обмотки управления;

- активное сопротивление обмотки управления;

- статический коэффициент усиления.

Уравнение динамики для первого звена:

(3)

Уравнение динамики в операторной форме:

(4)

Для второго звена вывод уравнения динамики аналогичен. Вход – щетки короткозамкнутой цепи ЭМУ, выход – продольные щетки ЭМУ. Входной сигнал - , выходной сигнал -.

Уравнение динамики в операторной форме для второго звена:

(5)

где - электромагнитная постоянная времени короткозамкнутой цепи ЭМУ;

- статический коэффициент усиления;

С - конструктивная постоянная ЭМУ.

Из уравнения (4) и подставим в (5)

,

,

где - коэффициент усиления ЭМУ.

Уравнение динамики ЭМУ:

.

ОФП для ЭМУ:

.

Электромашинный усилитель является апериодическим звеном второго порядка.

3. Двигатель постоянного тока (М).

В данной САУ применяется двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Якорь двигателя способен накапливать кинетическую энергию и электромагнитную в магнитной цепи – этим обусловлена инерционность процессов в двигателе. Входная переменная - , приложенное к щеткам якоря. Выходная переменная -- угловая скорость вращения якоря.

Для вывода уравнения динамики используем следующие уравнения:

(1)

(2)

(3)

где - индуктивность цепи якоря;

- активное сопротивление цепи якоря;

- угловая скорость вращения якоря;

- конструктивная постоянная;

- противо ЭДС якоря;

- момент инерции якоря;

- вращающий момент двигателя;

- момент сопротивления (=0).

(3) подставляем в (2) и разрешаем относительно

(4)

(5)

(6)

(5) и (6) подставим в (1)

где - статический коэффициент усиления двигателя;

- электромеханическая постоянная времени двигателя;

- электромагнитная постоянная времени якорной цепи электродвигателя.

Уравнение динамики двигателя:

Уравнение динамики в операторной форме:

ОФП двигателя:

Двигатель постоянного тока является инерционным звеном второго порядка. При двигатель является апериодическим звеном второго порядка. Придвигатель является колебательным звеном второго порядка. Из таблицы 1,, значит выполняется условие, следовательно, двигатель – апериодическое звено второго порядка.

4) Тахогенератор (ТГ).

Тахогенератор считаем безынерционным элементом. Входная переменная - - угловая скорость, выходная переменная -- напряжение постоянного тока.

Уравнение динамики ТГ:

ОФП для ТГ:

.

5) Задающий элемент (ЗЭ)

Задающий элемент вырабатывает задание (задающее воздействие) k∙g , пропорциональные заданному значению регулируемой величины, g.

6) Элемент сравнения (ЭС)

Элемент сравнения сравнивает поступающие на него сигналы и выделяет сигнал ошибки kε, пропорциональный отклонению ε регулируемой величины от заданного значения.

7) Корректирующие элементы

Корректирующие элементы вводят с целью обеспечения устойчивости и требуемых показателей качества процессов управления.