Распределение объектов по ячейкам

Даны объектов (предметов) и ячеек (ящиков). Требуется определить количество способов, которыми объекты могут быть распределены по ячейкам. При этом в зависимости от условия задачи необходимо учитывать следующие варианты:

• объекты могут быть одинаковыми или различными;

• ячейки могут быть одинаковыми или различными;

• возможно ограничение на количество объектов в ячейках;

• возможен учёт порядка объектов в ячейках или порядка ячеек.

Прежде чем рассмотреть решения различных вариантов постановки задачи распределения объектов по ячейкам, введём условные обозначения:

0 0 0 …0 – объекты (m штук);

/ – перегородка, отделяющая одну ячейку от другой (всего перегородок k-1 штук).

Приведём несколько примеров распределения объектов по ячейкам с учётом введённых обозначений:

- все объекты попали в последнюю ячейку;

- три объекта в первой ячейке, все остальные в последней.

Перейдём к обзору методов решения основных задач распределения объектов по ячейкам.

Распределение одинаковых объектов

Во всех следующих задачах (кроме пункта 5.4) предполагается, что ячейки различны и различают их по номерам: .

Вместимость ячеек неограниченна, ячейки не могут быть пустыми

Ввиду условных обозначений, данная задача может быть переформулирована следующим образом: необходимо в интервале между объектами разместить перегородку так, чтобы две перегородки не стояли рядом. Это можно сделать способами (до первой перегородки – в первую ячейку, между первой и второй – во вторую, и т.д.).

Вместимость ячеек неограниченна, ячейки могут быть пустыми

При данной формулировке задачи перегородки (т.е./) могут стоять произвольным образом, т.е. возможны следующие варианты:

/ / 0 0 / 0…0 – два объекта в третьей ячейке, все остальные – в последней;

…………….

/…/ 0…0 – все объекты в последней ячейке.

Следовательно, из имеющихся мест необходимо выбрать места для перегородки. Количество способов, которыми это можно сделать равно

Получаем – сочетания с повторениями.

Возможен другой способ рассуждений. Любому объекту ставится в соответствие номер ячейки, в которую он попал. Таких номеров . Нужно набрать сочетания из номеров по (сочетания – так как объекты одинаковы, имеет значение число объектов, получивших номер 1, номер 2 и т.д., а не их порядок). Результатом данного способа также являются сочетания с повторениями.

Вместимость каждой ячейки не менее, чем l объектов

Сначала в каждую ячейку помещаем по l объектов, а затем оставшиеся (m-k*l) объектов распределяем без ограничения на число объектов в ячейке (как описано в случае 1.2). Получаем количество способов распределения:

.

Распределение различных объектов по ячейкам без учёта порядка объектов в ячейке

Вместимость ячеек неограниченна, ячейки могут быть пустыми

Любой объект может попасть в любую ячейку. Т.е. первый объект можно поместить в любую из k ячеек, второй (независимо от первого) также поместить в любую из k ячеек и т.д. По правилу произведения результат будет следующим: