Частные случаи формулы включений и исключений

1.Если все свойства попарно несовместны, т.е. , то формула имеет вид:

2.Если каждое число  зависит не от характера свойств, от их количества, то формула приобретает вид:

где - число объектов, обладающих k свойствами.

3.Для упрощения применения формулы включений и исключений предлагается следующий формальный прием:

обозначим, тогда .

Введем правила раскрытия скобок: .

Например:

при имеем:

Такая формальная запись позволит найти число объектов, обладающих одними и не обладающих другими свойствами, например:

.

Задача о беспорядках

Пусть множество . Рассмотрим перестановки элементов множества .

Элемент перестановки называется неподвижным, если , т.е. элемент стоит на своем месте.

Например:

при

5 2 4 3 1 – элемент “2” – неподвижный;

1 2 3 4 5 – все элементы неподвижны.

Беспорядком называется перестановка, не имеющая неподвижных элементов, т.е.

Постановка задачи:

Определить - количество беспорядков в n-элементном множестве, или количество перестановок чисел таких, что ? называют субфакториалом.

Решение:

Общее число перестановок – .

Обозначим через такое свойство перестановки, когда i-й элемент стоит на своем месте, т.е. а_i = i.

- число перестановок, обладающее свойством , т.е. .

- в этих перестановках только один элемент находится на своем месте, остальные – в беспорядке. , т.к. число перестановок не зависит от того, какой именно элемент находится на своем месте.

Обозначим через - количество перестановок, в которых только два элемента находятся на своих местах, ,… , – количество перестановок, в которых только элементов находятся на своих местах .

По формуле включений-исключений имеем:

(1)

Распишем формулу:

Задача o встречах

Постановка задачи:

Определить количество таких перестановок чисел , что точно элементов из находятся на своих на местах (т.е. ), а остальные находятся в беспорядке.

Иначе: нас интересуют перестановки, в которых точно элементов неподвижны.

Решение:

Из общего числа элементов некоторым образом выбирается , которые остаются на своих местах, остальные элементов находятся в беспорядке. Количество способов, которыми можно переставить элементов при таких условиях, равно .

Перестановки без фиксированных пар

Постановка задачи: Обозначим через - число таких перестановок чисел , что ни одна из этих перестановок не содержит ни одной из упорядоченных пар .

Решение:

Для вычисления используем принцип включения и исключения. Будем говорить, что перестановка обладает свойством , если она содержит i–тую упорядоченную пару (i, i+1). Число всех перестановок .

Перестановки, обладающие свойством , получаются как перестановки элементов и пары , рассматриваемой как один элемент. Следовательно, независимо от .

Перестановки, обладающие двумя свойствами, т.е. имеющие две упорядоченные пары, например и , получаются из пар , каждая из которых рассматривается как отдельный элемент и оставшихся элементов, т.е. из (n-2) элементов.

Если к=i+1 , то перестановки составляем из (i, i+1, i+2) и (n-3) остальных элементов, т.е. тоже из (n-2) элементов.

независимо от и . Число перестановок, не обладающих ни одним из свойствами , зависит только от и .

Всего пар может быть - (n-1), следовательно: