3. Расчёт компенсатора возмущений

Внешние воздействия делятся на задающие, сигнал которых система должна воспроизводить, и возмущающие, действие которых нужно нейтрализовать. В нашем случае нужно скомпенсировать возмущающее воздействие.

Корректирующие устройства по возмущению. Пусть задана система

Рис. 3.1. Структурная схема системы с возмущением

Используя формулу для расчёта компенсатора, получим передаточную функцию следующего вида:

Пояснение: из разложения экспоненты, мы воспользовались только первым слагаемым (единицей), т.к. если взять второе, третье и др. слагаемые, мы получим передаточную функцию компенсатора, степень числителя которого больше степени знаменателя. А такой компенсатор реализовать невозможно.

Для того, чтобы сравнить, как компенсатор реагирует на возмущение, построим графики переходных процессов без компенсатора и с компенсатором в одной системе координат.

Сравним графики переходных процессов:

Верхний – без компенсатора

Нижний – с компенсатором

Время регулирования (т.к. отклонение от “1” составляет ± 5%): 190 с

Перерегулирование:

Время быстродействия: 82 с

Статическая ошибка: ;

Степень затухания:

Количество полных колебаний, произошедших до того, как система примет установившееся значение (т.е. не будет выходить из “вилки” [0.95; 1.05]): одно колебание.

4. Релейный элемент в качестве регулятора

Структурная схема нелинейной непрерывной САУ представлена на рис 5.1,где НЭ (f(E))– нелинейный элемент.

Рис. 4.1

На рисунке 4.2 представлена нелинейность f(E).

(Relay)

Рис. 5.2

Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при :

где

,

,

.

Если , где– полиномы относительно, то уравнение свободного движения замкнутой системыимеет вид, где– оператор дифференцирования. После гармонической линеаризации

и гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы будет

Коэффициенты гармонической линеаризации идля нашего случая приведены ниже.

Система с нелинейным элементом выглядит следующим образом:

переходной процесс:

Как видно система с нелинейностью ведет себя иначе. Отсутствует перерегулирование и сократилось время регулирования.

• Время регулирования (т.к. отклонение от “1” составляет ± 5%): 155 с

• Перерегулирование:

• Время быстродействия: 300 с

• Статическая ошибка:

переходной процесс:

В нелинейных системах возможна устойчивость в малом, в большом и в целом. Устойчивость в малом означает устойчивость при сколь угодно малых отклонениях от исходного режима. Устойчивость в большом проявляется при конечных отклонениях, возможным по условиям работы. Система устойчива в целом, если она устойчива при неограниченных отклонениях от состояния равновесия.

Исследование нелинейных систем имеет следующие цели, связанные с анализом и синтезом систем:

- анализ устойчивости;

- определение возможности автоколебаний, их частоты и амплитуды;

- определение показателей качества;

- синтез устройств управления.

В зависимости от конкретной цели возможно применение того или иного метода анализа.

Методы исследования нелинейных систем:

- моделирование открывает наиболее широкие возможности анализа динамики и основано на численном интегрировании дифференциальных уравнений с использованием вычислительных машин и специального программного обеспечения. Моделирование позволяет получить переходные процессы, построить фазовый портрет системы, определить устойчивость и возможные автоколебания, оценить показатели качества.

- метод пространства состояний (фазовой плоскости) позволяет определить устойчивость, наличие автоколебательных режимов, их частоту и амплитуду для систем, с достаточной точностью описываемых уравнениями второго порядка. Если порядок уравнений равен трем и больше, возможно построение траекторий в проекциях на фазовые плоскости, соответствующие парам переменных состояния.

- метод точечных преобразований, основанный на свойствах фазовых траекторий, позволяет определить устойчивость движений, соответствующих определенным начальным условиям, и определить возможность автоколебаний.

- прямой метод А. М. Ляпунова позволяет оценить устойчивость нелинейной системы в целом, а метод В.М. Попова дает достаточные условия абсолютной устойчивости.

- метод гармонической линеаризации и гармонического баланса позволяет определить возможность автоколебаний, их частоту, амплитуду и устойчивость.

Все реальные системы изначально являются нелинейными; поэтому, когда мы используем линейную модель реальной системы, мы прибегаем к линеаризации того или иного свойства реальной системы.

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования автоколебаний. Он позволяет определить условия существования и параметры автоколебаний в нелинейных системах практически любого порядка. Этот метод может быть использован также для исследования вынужденных колебательных режимов и приближенной оценки качества переходных процессов.

Метод гармонической линеаризации опирается на исследование поведения системы при гармоническом (синусоидальном) воздействии, подаваемом на вход нелинейного элемента, и замене периодической кривой на выходе нелинейного элемента первой гармоникой. Погрешность, получаемая при такой замене, сравнительно невелика, т.к. в действительности из-за последующего сглаживающего действия линейной части САУ, являющейся своего рода фильтром низкой частоты, все высокочастотные колебания не пропускаются. Практически они подавляются элементами системы, обладающими инерционностью, например, индуктивностью, механическими массами и др.

Основой метода гармонической линеаризации является предположение о том, что автоколебания приближенно можно искать в синусоидальной форме.

,

где а и w – искомые амплитуда и частота колебаний.

Передаточная функция нелинейного звена выглядит следующим образом:

Величина q называется гармоническим коэффициентом усиления нелинейного звена.

Линеаризация заключается в замене нелинейной зависимости на прямую линию, в результате чего можно получить точную модель для случая малых отклонений от рабочей точки. Гармоническая линеаризация применяется в системах с внутренними колебаниями. Для некоторых систем вообще невозможно подобрать адекватный метод анализа и единственное, что остается сделать – это прибегнуть к имитационному моделированию. Однако учитывая специфику нелинейных систем, даже если применение какого-то метода анализа является оправданным, полученные результаты, по возможности, должны быть проверенны путем моделирования.