4 Исследование устойчивости исходной системы

В 1932 году Найквист предложил амплитудно-фазовый критерий устойчивости, позволяющий судить об устойчивости системы, исследуя только разомкнутую систему, что упрощает расчёты.

Система управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы, при изменении ω от 0 до ∞ не охватывает точку с координатами (-1 ; 0) на комплексной плоскости.

Если система в разомкнутом состоянии не устойчива и имеет m корней с положительной вещественной частью, то для того, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, амплитудно-фазовая характеристика в разомкнутом состоянии при изменении ω от 0 до ∞, должна охватывать m/2 раз точки с координатами (-1; 0).

Структурная схема системы, представленная на рисунке 2.11, не имеет обратной связи. Преобразуем структурную схему так, чтобы в ней появилась отрицательная обратная связь. Для этого из знаменателя передаточной функции, представленной в формуле 2.11, вычтем числитель, то есть 1. В результате получится передаточная функция представленная формулой 4.1.

(4.1)

Структурная схема системы с отрицательной обратной связью представлена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Структурная схема системы

По годографу Найквиста, представленному на рисунке 3.6, можно сказать, что система является неустойчивой.

5 Коррекция динамических характеристик системы

Исследуем влияние параметров линейной системы на её устойчивость с помощью метода корневого годографа. Этот метод позволяет оценить влияние параметров системы на расположение корней характеристического уравнения. Обычно рассматривает влияние одного параметра (чаще коэффициента усиления) на расположение корней.

Корневым годографом называется геометрическое место корней характеристического уравнения при изменении одного из параметров системы от 0 до бесконечности.

Преобразуем структурную схему с передаточной функцией Ws в схему с отрицательной единичной обратной связью, которая представлена на рисунке 4.1. Построим корневой годограф (рис. 5.2) с помощью GUI-интерфейс "SISO-Design Tool" системы MatLab.

Рисунок 5.1 – Корневой годограф исходной системы

По годографу видно, что в данном случае система неустойчива, так как точки, лежащие на оси действительных величин, расположены справа от мнимой оси координат.

Вначале заменим отрицательную единичную обратную связь на положительную.

В нашем случае оптимальным коэффициентом усиления системы является значение К=1,2. График корневого годографа представлен при данном коэффициенте на рисунке 5.3.

Рисунок 5.2 – Корневой годограф скорректированной системы (К=1,2)

Для получения скорректированной передаточной функции системы достаточно домножить числитель исходной функции на -1,2

(5.1)

6 Анализ устойчивости скорректированной системы

Структурная схема скорректированной системы представлена на рисунке 6.1.

Рисунок 6.1 – Структурная схема скорректированной системы

На рисунке 6.2 представлен график, полученный в окне осциллографа, по виду которого можно сказать, что система стала устойчивой.

Рисунок 6.2 – График, полученный в окне осциллографа

Исследуем скорректированную систему на устойчивость.

_{Разорвем единичную обратную отрицательную связь. Используем критерий Гурвица для определения устойчивости разомкнутой системы.}

_{Из коэффициентов характеристического уравнения:}

_{по следующему правилу определяется матрица Гурвица: по главной диагонали слева направо выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от с1 до сn. В каждом столбце вниз по диагонали записываются коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх при убывающих степенях p, недостающие элементы в столбце дополняются нулям.}

Определяем матрицу Гурвица:

_{Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все N диагональных миноров из матрицы Гурвица были с одинаковым знаком.}

Определяем 3 диагональных минора:

d1 = 2

d2 = 20

d3 = -640

_{Так как один из миноров отрицательный, то система считается не устойчивой.}

Годограф Найквиста, полученный после корректировки системы, представлен на рисунке 6.3. Из рисунка видно, что график охватывает точку с координатами (-1;0), то есть, по критерию Найквиста, система является устойчивой. Значит, с помощью корректировки мы добились перевода системы из неустойчивого состояния в устойчивое.

Рисунок 6.3 – Годограф Найквиста, полученный после корректировки системы

Заключение

К настоящему времени теория автоматического управления является сложившейся научной дисциплиной со своим аналитическим аппаратом. Ее центральной задачей всегда была, есть и будет задача синтеза систем, т.е. проектирования управляющего устройства, который бы обеспечил системе нужные статические и динамические свойства.

В ходе выполнения курсовой работы были проведены исследования линейной системы управления: построены структурная схема системы и ее динамические характеристики, проведена оценка устойчивости системы с помощью критерия Найквиста и критерия Гурвица, а также произведена коррекция параметров системы с последующим анализом ее устойчивости.

При оценке устойчивости линейной системы управления было установлено, что она не устойчива. В результате корректировки ее параметров (нахождении оптимального коэффициента усиления К=-1,2) система была приведена к устойчивому состоянию.

Список использованных источников

1. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования: Учебное пособие для вузов – М.: Высш.шк., 2004 – 365 с.: ил.

2. Анхимюк В.Л. Теория автоматического управления: Учебное пособие для электротехн. спец. втузов – 3-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Выш. школа, 1979. – 352 с., ил.

3. Ануфриев И.Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x. – СПб.: БХВ – Петербург, 2002.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. /Под общ. ред. Н.Д. Егупова - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000.