- •Некоторые сведения из курсов физики и
- •1.1 Основные свойства газа
- •1.2. Основные сведения из термодинамики
- •2. Основные законы сжимаемой среды
- •2.1. Вводные замечания
- •2.2. Закон сохранения массы
- •2.3. Закон изменения количества движения
- •2.4. Закон изменения момента количества движения
- •2.5. Закон сохранения энергии
- •2.6. Уравнение Бернулли - Сен Венана. Параметры заторможенного газа
- •3. Число маха. Режимы течения газа
- •4. Связь между площадью сечения и скоростью потока газа. Сопло лаваля
- •5. Истечение газа из резервуара через сходящуюся насадку
- •6. Режимы работы сопла лаваля
- •7. Критерии подобия. Газодинамические функции
- •8. Скачки уплотнения
- •8.1. Скорость распространения волн сжатия
- •8.2. Прямой скачок уплотнения
- •8.3. Косой скачок уплотнения
- •9. Основные задачи установившегося движения газа в трубах
- •9.1. Изотермическое движение идеального газа в горизонтальном трубопроводе
- •9.2. Установившееся изотермическое движение реального газа в горизонтальном трубопроводе
- •1.1. Основные свойства газа 4
8.2. Прямой скачок уплотнения
Рассмотрим случай, когда фронт сильной волны составляет прямой угол с направлением движения газа. Такая волна называется прямой ударной или прямым скачком уплотнения (рис. 8.2)
Рис. 8.2. Схема прямого скачка уплотнения
Найдем соотношения, связывающие параметры состояния газа перед и за фронтом ударной волны. Рассмотрим схему, когда фронт волны неподвижен. Если же в действительности ударная волна движется, то можно перейти к рассмотрению указанной схемы путем обращения движения. Т.е. остановим фронт волны, направив поток газа навстречу волне со скоростью, равной скорости распространения волны . Это равносильно тому, что вводится в рассмотрение система координат, жестко связанная с ударной волной, т.е. система координат движется со скоростью . Тогда газ будет перемещаться относительно этой системы координат со скоростью перед фронтом волны и за фронтом волны со скоростью
(8.6)
Таким образом, в выбранной системе координат имеется неподвижная поверхность (ударная волна), которую пересекает газ. При этом параметры потока таза: скорость движения, плотность, давление и температура - претерпевает скачкообразное изменение. Именно поэтому ударную волну называют еще скачком уплотнения.
Визуально скачки уплотнения можно наблюдать в сверхзвуковых аэродинамических трубах при обтекании воздухом неподвижных твердых тел.
Для отыскания связи параметров потока по обе стороны скачка уплотнения воспользуемся уравнением неразрывности, которое для случая принимает вид
(8.7)
и уравнением изменения количества движения
(8.8)
Равенство (8.8) можно преобразовать
Подставляя сюда выражение , найденное из (8.7), получим
(8.9)
или
(8.10)
Найдем соотношение, связывающее скорость газа по обе стороны скачка уплотнения со скоростью звука. Для этого воспользуемся уравнением Бернулли-Сен-Венана для двух сечений, расположенных на бесконечно близком расстоянии друг от друга: одно сечение выбрано но одну сторону скачка уплотнения (в невозмущенной области), другое - за скачком уплотнения
(8.11)
Правомерность использования этого уравнения вытекает из того, что боковая поверхность отсека потока 1-Н (т.е. в области скачка) ничтожна мала, энергообменом через эту поверхность можно пренебречь.
Согласно (1.18) можно записать
(8.12)
Подставляя эти значения энтальпии в (8.11) и решая уравнение относительно , получим
(8.13)
По аналогии из (8.11), с учетом (8.12), можно получить равенство
(8.14)
Вычитая почленно равенство (8.13) из (8.14), имеем
(8.15)
Используя соотношение (8.7), преобразуем равенство (8.8) к виду
(8.16)
Подставляя (8.16) в (8.15), после несложных выкладок можно получить
(8.17)
Воспользуемся выражением (3.10), которое с учетом уравнения Клапейрона-Менделеева (1.3) примет вид
(8.18)
Используя последнее равенство, могло выражение (8.17) представить к виду
(8.19)
Сопоставляя равенства (8.10) и (8.19), можно получить искомое соотношение, связывающее скорости потока газа перед и за скачком уплотнения с критической скоростью.
(8.20)
Последнее соотношение называется формулой Прандтля. Его можно представить еще иначе, если заменить в нем скорости и через соответствующие значения коэффициента скорости и
(8.21)
Соотношения (8.20) и (8.21) позволяют сделать важный вывод. В прямом скачке уплотнения всегда сверхзвуковая скорость газа переходит в дозвуковую, так как если , то . Более того, чем выше значение безразмерной скорости (следовательно и ), тем меньше ее значение после скачка. Иными словами, чем выше начальная скорость сверхзвукового потока, тем сильнее получается скачок уплотнения. С уменьшением начальной скорости скачок ослабевает и исчезает совсем, при Тем самым доказывается, что ударные волны возможны только при сверхзвуковых течениях газа. Этот вывод подтверждается и экспериментально.
Установим теперь связь между давлением и плотностью газа в скачке уплотнения. Для этого используя выражение (8.13) и (8.14) и исключая из них скорости и , с учетом (8.9) можно получить (выкладки опускаются)
(8.22)
Соотношение (8.22) позволяет судить о термодинамическом процессе изменения состояния газа в скачке уплотнения и называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио.
Следует подчеркнуть, что при прохождении газа через скачок уплотнения уравнение адиабаты Пуассона (1.21) теряет силу, т.е. процесс движения газа становится неизоэн- тропийным. Вместо (1.21) должно использоваться уравнение ударной адиабаты (8.22).
Из (8.22) видно, что при неограниченном возрастании давления в скачке уплотнения увеличение плотности имеет определенный предел
(8.23)
Например, для воздуха () увеличение плотности в скачке уплотнения может быть не более чем в 6 раз (). Если бы процесс оставался адиабатическим (при прохождении скачка уплотнения), то увеличение плотности с ростом давления было бы неограниченным. Это следует из выражения
(8.24)
которое получается при формальном использовании уравнения (1.21).
Графическое представление зависимостей (8.22) и (8.24) дается на рис. 8.3
Рис. 8.3. Графическое представление ударной (Гюгонио) и идеальной (Пуассона) адиабат
Выражение (8.22) иногда удобнее использовать в другом
(8.25)
Можно выразить отношение давлений в прямом скачке уплотнения и в функции коэффициента скорости перед скачком уплотнения
(8.26)
которое получается из (8.25) исключением плотности.
Выражения (8.25) и (8.26) позволяют определять потери полного давления в прямом скачке уплотнения.